Bonjour la définition "source" du déterminant de deux vecteurs u(x,y) et v(x',y') est-elle :
a) Det(u,v) = xy'-x'y ?
b) ou bien Det(u,v) = ||u||.||v||.sin(u,v) ?
Et ensuite quelle est la démonstration pour passer de l'expression (a) à l'expression (b), ou l'inverse?
Merci par avance
Bonjour.
Aucune des deux "définitions" n'est vraiment la première. Mais on présente souvent le déterminant comme un tableau avec des nombres, qui se calcule d'une certaine façon, ce qui donne pour le cas de deux vecteurs V et V'du plan de coordonnées dans un repère (x,y) et (x', y'), le calcul xy'-x'y.
Pour passer à la formule avec le sinus, il faut que les coordonnées soient obtenues dans un repère orthonormé direct. Je n'ai pas en tête de preuve simple; une première étape peut être de montrer qu'un changement de repère orthonormé direct ne change pas le déterminant calculé avec les coordonnées. Puis on choisit un repère dont l'axe des x est orienté par V, donc x=||V||,y=0, et le déterminant vaut xy'. Il est facile de voir que y'=||V'||sin(V,V').
Cordialement.
Excellente explication !
Merci beaucoup
bonjour
Le déterminant est défini avec la formule de Leibnitz. Voir:
formule de Leibnitz
Ensuite pour passer de Det(u,v) = xy'-x'y à Det(u,v) = ||u||.||v||.sin(u,v), on y arrive en considérant l'aire du parallélogramme porté par les vecteurs u et v.
L'aire A du parallélogramme porté par u et v est la longueur d'un coté, disons ||u||, par la hauteur du parallélogramme. La hauteur vaut la longueur de l'autre coté ||v|| par le sinus de l'angle entre les 2 cotés. Donc A = Det(u,v) = ||u||.||v||.sin(u,v)
On peut aussi calculer cette hauteur. Soit w un vecteur unitaire perpendiculaire à u. w a pour coordonnées (-y/sqrt(x²+y²), x/sqrt(x²+y²). On a bien u.w = 0 (produit scalaire).
La hauteur h est v.w = -x'y/sqrt(x²+y²)+ xy'/sqrt(x²+y²)
et l'aire A = ||u|| x h = sqrt(x²+y²) x (-x'y/sqrt(x²+y²)+ xy'/sqrt(x²+y²)) = xy' - x'y
donc Det(u,v) = ||u||.||v||.sin(u,v) = xy' - x'y
Sans dessin je crains que ce ne soit pas très clair. tu peux aller voir une figure ici avec des notations différentes:
determinant_de_deux_vecteurs_d ans_le_plan_euclidien
Attention,
l'aire du parallélogramme est un nombre positif, il faut donc une valeur absolue sur le sinus (même si on considère l'angle géométrique; le déterminant, lui peut être négatif ou positif.
Cordialement.
