Sujet Bac S maths (géométrie vecteur equation cartésienne)

[ar13menia]

Salut en vue de réviser le bac j'ai décider de faire un sujet qui est tombé l'année dernière en Amérique du Nord.
Seulement je bloque pour trouver l'équation cartésienne du plan (ABC). (question 2.b)

Voici l'énoncé:

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B (1 ; 3 ; 0), C(2 ; −1 ; −2) et D (7 ; −1 ; 4).

1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit ¢ la droite passant par le point D et de vecteur directeur −→u (2 ; −1 ; 3).
a. Démontrer que la droite ¢ est orthogonale au plan (ABC).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ¢.
d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite ¢ et du plan (ABC).

3. Soit P1 le plan d’équation x + y +z = 0 et P2 le plan d’équation x +4y +2 = 0.
a. Démontrer que les plans P1 et P2 sont sécants.
b. Vérifier que la droite d, intersection des plans P1 et P2, a pour représentation paramétrique
x = −4t −2
y = t , t ∈ R.
z = 3t +2
c. La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?



Question 1 pas de soucis il ne sont pas alignés donc pas colinéaire.
Question 2.a la droite Delta est orthogonale car orthogonale aux vecteurs AB et BC donc au plan (ABC) puisqu'il ne sont pas colinéaire.

Maintenant la question 2.b
Après avoir regarder les cours que j'ai trouvé sur internet j'ai vu que l'équation cartésienne d'un plan est de la forme
ax + by + z + d = 0
Mais la je bloque je ne sais pas comment m'y prendre

merci d'avance pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

Propriété de cours :
* Si ax+by+cz+d=0 est l'équation d'un plan, alors le vecteur V(a,b,c) est orthogonal au plan.
* Réciproquement, si V(a,b,c) est orthogonal à un plan (P), alors (P) a une équation qui s'écrit ax+by+cz+d=0 où d reste à déterminer.

Comme quoi apprendre ses leçons avant de faire les exercices est la bonne méthode ...

Cordialement.

[invited3a27037]

bonjour

Un point M appartient au plan ssi ce qui fournit une équation du type ax+by+cz+d=0

A peut être remplacé par B ou C ce qui ménerait à la même équation de plan.