arithmétique

[kaderben]

Bonjour
Voici une question d'un QCM:
n entier naturel. On donne a=3n+1 et b=2n+3
L'affirmation suivante est elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
pgcd(a;b)=7 si et seulement si n est congru à 2 modulo 7

Réponse:
Si pgcd(a;b)=7 alors les entiers (3n+1)/7 et (2n+3)/7 sont premiers entre eux (a/7 et b/7 sont entiers pour certaines valeurs de n)
il existe un couple (u,v) dans Z² tels que u(3n+1)/7 + v(2n+3)/7=1
soit u(3n+1) + v(2n+3)=7
le couple (-2;3) est solution

puis je ne sais pas trop comment continuer...
Et si je commence par: si n est congru à 2 modulo 7, soit n-2=0(7) alors non plus je ne vois pas comment continuer

Merci pour vos commentaires.
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[gg0]

Bonsoir.

Si n est congru à 2 modulo 7, n=7m+2, et on trouve que a/7 et b/7 donnent des nombres premiers entre eux.

Cordialement.

[kaderben]

Bonjour ggO
Il fallait y penser
n=7m+2 soit n-7m=2
puis par Bézout, n=7k+2 k dans Z
ce qui donne a=7(3k+1) et b=7(2k+1)
donc a/7=3k+1 et b/7=2k+1
existe (-3;2)
tel que -3(2k+1)+2(3k+1)=-1 donc a/7 et b/7 premiers entre eux
7=pgcd(a;b)

Remarque: J'ai voulu le faire d'une autre façon mais je trouve quelque chose de bizarre:
Soit d un diviseur de 3k+1 et 2k+1 k dans Z
donc d divise 3k+1-(2k+1, d divise k soit d différent de 1 et 3k+1 et 2k+1ne sont pas premiers entre eux!
Sûrement j'ai fait une erreur mais je ne la vois pas!

[gg0]

Bonjour.

d divise k, ce qui ne lui interdit pas d'être égal à 1.
D'ailleurs, tu viens de me faire voir ce que j'avais raté hier soir : d divise 3k+1 et 2k+1 donc divise leur différence k, donc divise (2k+1)-2k = 1; donc d=1.

Cordialement.

NB : Je te laisse le sens direct ...

[A voir en vidéo sur Futura]