Zéro factoriel

[invite532f46f3]

bonjour à tous;

pourquoi 0!=1 ?

merci pour votre réponse
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[invite6bc0c7b8]

Je ne sais pas si ça peut vous aider, mais un petit tour (comme d'hab ) ici.

[invite532f46f3]

merci pour le lien il est vraiment intéressant; mais il ne donne pas la preuve, c ça
j'ai essayé avec ça , je ne sais pas s'il n y a pas de contradiction/

on a par définition (n+1)!=(n+1)*n!

par suite dans le cas où n=0 on obtient:

1!=0! sachant que 1!=1 il s'en suit que : 0!=1

je ne sais pas si c'est juste

[Médiat]

Bonjour,

Comme pour tous les choix conventionnels il y a un zeste d'arbitraire, en général, dans le domaine mathématique, on choisit la convention qui génère le moins de cas particuliers (en l'absence d'arguments plus mathématiques), par exemple, le nombre façon de ranger n éléments dans un certain ordre, c'est à dire le nombre de bijections entre un ensemble à n éléments et lui-même, est n!. Pour l'ensemble vide il y a exactement une bijection entre l'ensemble vide et lui-même, il paraît donc "économique" de poser 0! = 1 , et donc 0 n'est pas un cas particulier pour ce théorème (et ce n'est pas le seul).

mais il ne donne pas la preuve

On ne peut pas donner la preuve d'une définition, au mieux on peut la justifier avec des arguments plus ou moins mathématiques. (même question : pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ? pourtant il n'est divisible que par 1 et par lui-même (qui est une définition des nombres premiers)

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

quand est-ce que tu es amené à considérer 0!

[shokin]

Peut-on se dire que, comme , alors ?

[shokin]

(même question : pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ? pourtant il n'est divisible que par 1 et par lui-même (qui est une définition des nombres premiers)

Et si on définit un nombre premier comme un nombre naturel qui a exactement deux diviseurs naturels distincts ?

[Médiat]

Nous sommes bien d'accord que 1 doit être exclu, et donc que toute définition l'excluant est sympathique, mais c'est la décision de l'exclure (pour l'une des raisons que j'ai citées) qui prime sur le choix de la définition (et qui la détermine même) et non le contraire.

J'avais bien écrit "une" définition

[invite532f46f3]

pour moi c juste et c logique ce que vous avez est juste

[shokin]

Si je partage la définition que j'ai données précédemment, est-ce que cela porte à conséquence ou pourrait entrer en contradiction avec une partie de l'arithmétique ?

[invite532f46f3]

quelle contradiction?

[Médiat]

Si je partage la définition que j'ai données précédemment, est-ce que cela porte à conséquence ou pourrait entrer en contradiction avec une partie de l'arithmétique ?

Non, en fait le problème ne se pose pas ainsi :

Si on prend une définition des nombres premiers qui inclut 1 on peut établir le théorème : "n est premier si et seulement si n est divisible uniquement par 1 et par lui-même" et le théorème "n est premier si et seulement si n = 1 ou n a exactement 2 diviseurs distincts"

Si on prend une définition des nombres premiers qui exclut 1 (la bonne) on peut établir le théorème : "n est premier si et seulement si n est différent de 1 et n est divisible uniquement par 1 et par lui-même" et le théorème "n est premier si et seulement si n a exactement 2 diviseurs distincts"

Selon la définition choisie on a des cas particuliers différents ; la "bonne" définition est celle qui donne des théorèmes avec le moins de cas particuliers possibles.

[shokin]

Une contradiction avec quelque théorème que je ne connaîtrais pas, je pensais. Mais peut-être qu'il n'y en a pas. Il y a une grande partie de la mathématique que je ne connais pas. Je m'avance donc prudemment.

[shokin]

et le théorème "n est premier si et seulement si n a exactement 2 diviseurs distincts".

Justement, tu donnes comme théorème ce que je voulais prendre comme définition (en ajoutant "naturels" à la fin).

Si on prend une définition des nombres premiers qui exclut 1 (la bonne) on peut établir le théorème : "n est premier si et seulement si n est différent de 1 et n est divisible uniquement par 1 et par lui-même" et le théorème "n est premier si et seulement si n a exactement 2 diviseurs distincts"

Mais quelle est / serait cette définition ?

[acx01b]

et puis c'est quand même qui est la meilleure raison de choisir


nassia : c'est une belle fonction bien lisse et continue de dans qui coïncide avec la factorielle sur les entiers,

[shokin]

Ah ! la fonction gamma.

[Médiat]

Mais quelle est / serait cette définition ?

Il y en a des tonnes par exemple "n est premier ssi est un corps",

Ce qui renvoie à la définition d'un corps qui exclut , pour le même genre de raisons.

[Médiat]

et puis c'est quand même qui est la meilleure raison de choisir

C'est votre choix, mais en appeler aux réels pour justifier une valeur qui ne concerne que des entiers ne m'apparaît pas immédiatement comme une "bonne raison", par contre le nombre de bijections d'un ensemble à n éléments me paraît être une excellente raison (sinon la meilleure).

[acx01b]

ha oui j'ai mis "gamma est la meilleure raison", non gamma est une bonne raison pas la meilleure,
par contre le nombre de bijections de l'ensemble vide vers l'ensemble vide c'est tordu aussi, ou bien j'ai loupé un truc

[Médiat]

le nombre de bijections de l'ensemble vide vers l'ensemble vide c'est tordu aussi, ou bien j'ai loupé un truc

Une application de vers est un sous-ensemble de (avec des propriétés, pour que ce soit une bijection, il faut plus de propriétés), il n'y a qu'un seul sous-ensemble de , c'est , qui vérifie bien les propriétés des bijections.

[QueNenni]

1 à un statut paradoxal car il n'est ni un nombre premier, ni un nombre composé!

[shokin]

Peut-on se dire que, comme , alors ?

Et si on définit la factorielle ainsi ?

[Mikiisa]

merci pour le lien il est vraiment intéressant; mais il ne donne pas la preuve, c ça
j'ai essayé avec ça , je ne sais pas s'il n y a pas de contradiction/

on a par définition (n+1)!=(n+1)*n!

par suite dans le cas où n=0 on obtient:

1!=0! sachant que 1!=1 il s'en suit que : 0!=1

je ne sais pas si c'est juste

C'est faux !! Si tu veux définir de façon récursive n! Il faut dire :

(n+1)! =(n+1)*n!
ET
0! = 1

En effet si tu ne définis pas de premier terme, ta récurrence n'a aucun sens. De plus si tu définie 0!=0 alors avec cette définition n! =0 quelque soit n.

[invite532f46f3]

je vous remercie pour tous ces efforts intellectuels que vous faites, et vos réponses aussi.