Suites problème

[invitebda84c5e]

Bonsoir,je suis bloquée sur un exercice même si je l'ai bientôt terminé quelques questions me bloquent...

Voici l'énoncé :

On considère un triangle ABC isocèle rectangle en B tel que BA = BC = 1
On réalise les constructions suivantes :

Etape 1 : On divise ce triangle en quatre triangles isocèles rectangles obtenus en joignant les milieux des côtés et on numérote "1" le triangle central.

Etape 2 : Chacun des trois triangles non numérotés est alors divisé comme précédemment en quatre triangles isocèles rectangles obtenus et on numérote "2" les triangles centraux comme précédemment. Il y a donc trois triangles numérotés "2"
On continue le procédé.
Après trois étapes, on obtient la figure ci-contre contenant un triangle numéroté "1", trois triangles numérotés "2" et neuf triangles numérotés "3"


On se demande si le triangle ABC sera complètement recouvert par des triangles numérotés si l'on continue indéfiniment la construction.

Pour tout entier n \ge 1 on note :
- m_n le nombre de triangles numérotés n ;
- a_n l'aire d'un triangle numéroté n ;
- u_n l'aire totale des triangles numérotés de 1 à n après n étapes.


1)A l'aide d'un tableur/algorithme calculer les 10 premiers termes de la suite Un.
J'ai trouvé la formule suivante:Un=U^n-1+Mn*An
J'ai calculé Mn (M1=1,M2=3,M3=9...) Mn=3^n-1 car Mn=M1*q^n-1
Et j'ai calculé la suite An mais je suis pas sûre du tout ! Je ne sais pas si on part de A0 ou pas mais je le fais quand même:An=An-1/4
Donc j'utilise la formule je trouve U0=1/4, U1= 1/8 ,U2 = 7/32 ,U3 = 37/128 ,U4= 175/512,U5=781/2048,U6=3367/8192,U7=0.43,U8=0.44,U9=0.45,U 10=0.46
2)-Justifier brièvement que Mn+1=3Mn
-Démontrer que An+1=1/4An
Ensuite donner la nature des suites (mn) et (an)
(premier t et raison)

Je n'arrive pas à justifier et démontrer:
-Je trouve Mn+1=3^n en ajoutant les 1,je ne trouve pas 3Mn
-Démontrons que An+1=1/4An:
An+1=An+1-1/4=An/4
-(Mn) et (An) sont des suites géométriques.
(Mn) avec U1=1 et Q=3
(An) avec U0=0 et Q=*1/4 ou /4
Exprimer (Mn) et (An) en fonction de n.
J'ai du mal avec la rédaction,désolée
3.Interpréter géométriquement Un+1-Un,puis montrer que pour tout n>ou égal à 1 Un+1-Un=3^n/4^n+1*1/2=1/8(3/4)^n

Je n'aboutis à aucun résultat cohérent...Je trouve Un+1=Un+3*3^n-1*1/4*a^n-1/4=Un+9/4^n-1*a^n-1/8
C'est faux...J'ai besoin d'aide pour comprendre cette méthode.
Merci d'avance
-----

[invitebda84c5e]

C'est à faire pour vendredi ,il me manque seulement quelques questions que je n'ai pas comprises
S'il vous plaît aidez moi !

[invited3a27037]

1)A l'aide d'un tableur/algorithme calculer les 10 premiers termes de la suite Un.
J'ai trouvé la formule suivante:Un=U^n-1+Mn*An
J'ai calculé Mn (M1=1,M2=3,M3=9...) Mn=3^n-1 car Mn=M1*q^n-1

oui
oui

on a aussi où A est l'aire du triangle de départ

je pense qu'il faut développer complètement U_n



Chouette, une série géométrique !

[invited3a27037]

il y a une erreur dans la dernière formule

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebda84c5e]

Bonsoir merci pour votee aide je suis juste bloquée a la derniere question la voici ) En "additionnant" les égalités :
u2 - u1 =1/8*3/4
u3 - u2 =; 1/8*3/4^2
exprimer un en fonction de n
5) Conclure.
je mets mon calcul ds un instant merci pr vos explications!

[invitebda84c5e]

Voici mon calcul je sais pas si c'est bon j'utilise la formule:1+q+q²...q^n=1-q^n+1/1-q
Elle commence par 1 cette formule et moi j'ai pas de 1 dans ça:1/8+3*4+1/8*3/4²...3/4^n
Donc je trouve 1/3/4^(n+1)/(1/4) =(1-3/4^(n+1))*4
Merci beaucoup pour vos explications!

[invited3a27037]

Connait-on l'aire du triangle de départ ?

parce que moi je n'ai pas ce facteur 1/8 mais A/4 ou j'ai appelé A l'aire du 1er triangle.

Tu peux toujours mettre (1/8)*(3/4) en facteur dans ton expression pour faire apparaitre le 1 + 3/4 + (3/4)² + ...
mais je ne sais pas si l'expression est correcte.

si n tend vers l'infini, ton résultat tend vers quoi ? vers 4 ? Est ce l'aire du triangle ABC de départ ?

Si on prend ma formule dans le message #3, quand n tend vers +infini, Un tend vers A/4 * 1/(1-3/4) = A ce qui est correct. Cela signifie que tout le triangle ABC de départ est rempli par les petits triangles numérotés 1, 2, ...

[invited3a27037]

Ah oui on connait l'aire du triangle ABC. Je n'avais pas vu qu'il était rectangle. A = 1/2
ça explique ton facteur 1/8, moi j'avais A/4

[invitebda84c5e]

Merci pour votre réponse,désolée je ne comprends pas comment faire venir le 1 de la formule.

[invited3a27037]

il est tard, je vais quitter.
Reprends mes messages 3 et 4 avec A=1/2

U(n) est une somme partielle d'une série géométrique, et 1+q+q² + ..+ q^(n-1) = (1-q^n)/(1-q) converge vers 1/(1-q) (si q<1)