Problème sur les suites

[invited4743cb4]

Bonjour,
j'ai des doutes sur un raisonnement pour la question suivante : Montrer que

∀n de N, ∀k≥n+1 : 2^k - 2ⁿ ≥ k

J'ai fait une récurrence sur k, en initialisant à n+1, pour tenter de démontrer le résultat. Seulement, est-ce qu'au niveau logique cela convient ? N'y a-t-il pas de récurrence sur n à faire aussi, en considérant k fixé ?
Sinon, j'ai également démontré le résultat en passant par la fonction f_n(x) = 2^x - 2ⁿ - x définie sur [n+1;infini[ , mais la démarche est beaucoup plus lourde et moins élégante.

J'ai également un problème sur une autre question :
On considère (Vn) une suite bornée de réels positifs. On note M un majorant de (Vn). On note (Tn) la suite définie par :

∀n de N, Tn=sum(V_k/sqrt(2)^(2^k), k = 0 .. n)

On doit montrer que (Tn) converge.

On remarque que (Tn) est croissante, donc j'ai tenté de la majorer, sachant qu'on a en plus en hypothèse que (Vn) est majorée.
Mais après avoir
Tn < M sum(1/sqrt(2)^(2^k), k = 0 .. n) j'ai tenté plusieurs choses mais je n'arrive pas à me séparer de n pour majorer, pouvez-vous me donner une idée pour continuer ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonsoir.

Pour ta récurrence, en l'absence de la preuve, difficile de dire. On peut se contenter d'une récurrence sur k en supposant n fixé.

Pour ta série,sum(1/sqrt(2)^(2^k), k = 0 .. n) est une somme de termes d'une suite géométrique ...

Cordialement.

[invited4743cb4]

Pour ma récurrence je suis certain de ce que j'ai fait, donc en commençant par fixer n, ça marche, merci.

Par contre, pour la somme, ce n'est pas une suite géométrique si je ne m'abuse. En effet, écrite comme ça, ce n'est pas très beau, mais la racine de 2 est élevée à la puissance (2 élevé à la puissance k) et ce n'est pas (2 puissance 2) à la puissance k. (j'ai tenté d'écrire la somme sous Mapple puis de copier - coller mais ca me donne ce qui est écrit plus haut, et je ne sais pas me servir de LaTex).

[gg0]

Effectivement,

j'ai décodé de travers. Ce n'est pas grave, tu majores par la suite géométrique, ça devrait suffire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited4743cb4]

En considérant que ∀k on a sqrt(2)^2k < (sqrt(2)²)^k = 2^k et en prenant les inverses, je majore alors par la suite géométrique "somme des (1/2) à la puissance k" qui est égale à 2-2^-n < 2 donc j'ai bien majorée la suite de départ par 2. Est-ce exact ?

[gg0]

je ne sais pas (mais toi, tu sais quelles règles tu utilises, donc tu peux savoir si c'est juste).

Moi j'avais pensé rajouter des termes à la somme, pour avoir une série géométrique:

Or


Cordialement.

NB: Tu es sûr de ? essaie pour k=3.

[invited4743cb4]

Je me suis trompé... Je pensais à sqrt(2)^(2k) > 2^k pour tout k.
Et là en passant aux inverses je majore bien la suite sum(1/sqrt(2)^(2^k), k = 0 .. n) par sum(1/2^k, k = 0 .. n) = 2-2^-n < 2

[gg0]

Ok !

Oui, à condition de le justifier.

[invited4743cb4]

En fait l'inégalité n'est vraie qu'à partir du rang 1 mais ce n'est pas grave, j'ai juste à séparer la somme de son premier terme. Le résultat sera juste un peu moins beau...

[gg0]

Elle est vraie pour k=0 :

[invited4743cb4]

Tout à fait.
Merci pour l'aide.

[invite03041c47]

Svp svp aidez moi c urgent..trouver le terme general des deux suites suivantes {an} = {10,45,140,325,...} et {bn} = {-1,5/8,-3/8,7/32,-8/64,...}