Question de recurrence

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bonsoir je suis besoin d'une méthode rigoureuse qui permet de trouver les entiers n tels que 4ⁿ≼n! merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Après avoir étudié le petites valeurs de n, on voit ce qui se passe, et on peut compléter par une preuve par récurrence.

A toi de faire ...

[invite0ad54afb]

Bonjour.

Après avoir étudié le petites valeurs de n, on voit ce qui se passe, et on peut compléter par une preuve par récurrence.

A toi de faire ...

excusez moi mais ce qui me dérange ici c'est la méthode avec laquelle je peux trouver le premier n qui réalise l'inégalité (on peut toujours calculer en rajoutant 1 chaque fois a n jusqu'a tomber sur le n cherché ) mais se trouve t-il une méthode plus intéressante tel qu'une étude de fonction ou un truc du genre Merci pour la réponse quand-même

[gg0]

Manifestement, tu n'as pas essayé ce que je te proposais ...

Tu perds ton temps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0ad54afb]

la partie ou j'utiliserais la recurrence ne me pose aucun probleme
j'ai essayé de voir ce que donnent les petits n mais je n'ai pas pu conclure

[gg0]

Alors tu n'es pas allé bien loin ... des résultats à 4 chiffres suffisent, ça se fait à la main, voire de tête pour celui qui fait régulièrement du calcul mental.

Tu continues à perdre ton temps ...

[invite0ad54afb]

la seule chose que j'ai pu remarquer (qui est evidante sans meme faire de calcule) c'est que le cotient de sur n! diminue
deverais-je abandonner afin d'arreter de perdre mon temps ?!

[gg0]

le quotient de sur n! diminue

Non, pas au début.

Je ne sais pas ce que tu vas chercher, mais il est facile de comparer 4ⁿ et n! pour n=0, 1, 2, ...8 et de voir à quel moment n! devient plus grand, et que ce sera définitif. Ensuite, on fait une récurrence pour justifier ce "définitif".

Mais c'est ton travail, tu devrais l'avoir fait depuis longtemps.

[invite0ad54afb]

je pense que vous avez malcompris mon deuxieme message
cette methode que vous avez proposé est celle que j'avais utilisé je demande si c'est possible d'utiliser une méthode plus intéressante et merci

[gg0]

A quoi bon ?

Sinon, si on remplace 4 par un plus grand nombre, il deviendra nécessaire d'utiliser d'autres moyens (mais ce n'est plus du niveau lycée !)

[invite0ad54afb]

je suis bien curieux des méthodes utilisés même hors programme de lycée (je fait quelque recherches approfondies) pouvez vous m'indiquer une méthode ?

[gg0]

Il est probable qu'on utilisera une approximation de n! (par exemple la formule de Stirling) pour estimer l'ordre de grandeur du nombre attendu. Mais si 4 est remplacé par un grand nombre, on utilisera probablement un calculateur formel.

Cependant, ce genre de résultat n'a pas un grand intérêt en mathématiques supérieures, où on se contente d'être sûr que n! deviendra à un moment supérieur à a^n, aussi grand que soit a, car n peut devenir bien plus grand que a, donc comme on passe de a^n à a^(n+1) en multipliantpar a et de n! à (n+1)! en multipliant par n+1, qui peut être immensément plus grand, la factorielle deviendra beaucoup plus grande que la puissance.

Cordialement.

Nb : Pour étudier ce genre de choses, un livre de licence donnera des moyens.

[invite0ad54afb]

ok merci je pense que l'utilisation de la formule de sterling fera l'affaire j'essayerais de l'appliquer merci pour votre aide