Bonjour,
Je bloque sur un problème où je "sens" qu'il faut utiliser les suites et déduire le résultat en faisant tendre vers +infini mais j'ai l'impression que mon raisonnement ne m'amène pas sur le bon chemin.
Voilà le problème:
J'ai une carafe de vin de contenance 250 mL = 250.10^3 mm^3. Quand je la vide, il y a toujours 1mm3 de vin qui reste collé aux parois.
Mon but est de rincer la carafe avec de l'eau un certains nombre de fois, ce nombre tendant vers l'infini (et c'est là que je ne comprends pas) afin qu'il ne reste plus que 10^-50 mm^3 de vin collé aux parois. Et on me demande combien d'eau il me faut au minimum pour y arriver.
Je ne comprends pas pourquoi le nombre de lavage doit tendre vers l'infini car pour moi, on devrait se demander au bout de combien de lavages (et donc quelle quantité d'eau) on aura le résultat attendu.
Maintenant voici mon raisonnement:
Je considère qu'à chaque lavage on ajoute la même quantité d'eau et qu'à la fin du lavage, on jette tout le liquide (sauf le résidu collé aux parois). Et je note z la quantité totale de liquide dans la carafe.
Lavage n=0: on vide la carafe de son vin (que je note y). Il reste 1y. (Je prends le mm^3 comme unité de référence).
Lavage n=1 je rajoute une quantité (z-1) d'eau (que je note x). On a donc (z-1)x+y
on vide: ((z-1)/z) x + (1/z) y
Lavage n=2 Même raisonnement (z-1)x + ((z-1)/z) x + (1/z) y soit (1/z)((z²-1)x+y)
on vide : (1/z²)((z²-1)x+y)
Et donc je déduis la relation de récurrence:
A la fin du lavage n, le mm^3 restant est composé de (1/z^n)(z^n-1)x (eau) et de (1/z^n) y (vin).
Donc là, vu que le nombre de lavages tend vers l'infini, je devrais avoir lim(1/z^n) = 10^-50 lorsque n tend vers + infini.
Mais ça me parait impossible...
Merci pour votre aide !!
PS: désolé pour les équations, j'aurai du utiliser LateX mais j'espère que ça reste compréhensible.
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