Suites

[invite6bc0c7b8]

Bonjour à tous,
Je me retrouve bloqué sur une question d'un exercice, voici l'exo : (je raccourcis certains calculs pour que ce ne soit pas trop long)
Soit définie sur * par U₁=1/3 et
La suite vérifie que

1)Conjecturer la monotonie de la suite
On a un tableau de 7 valeurs, on conjecture que la suite est croissante

2) Étudier le sens de variations de

On sait que est positive, et que donc donc donc la suite est croissante

3)Démontrer que la suite converge.
On admet que la suite est croissante et majorée par , elle converge donc vers selon le théorème de convergence monotone.

4)Soit la suite définie par sur N* Démontrez que cette suite existe.
On sait que cette suite est définie en fonction de , elle même définie car , donc existe.

5) Montrer que
et



Soit définie sur N* par
6)Montrer que cette suite est constante
On calcule donc la suite est constante

7) Déduire en fonction de et déterminer sa limite.

Voilà désolé si c'est un peu long, c'est ici que je bloque, je ne sais pas d'où il faut partir.
Merci.
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Il y a une erreur au numérateur.

(...) et que (...)

Je pense que tu peux détailler pourquoi on a cela.

(...) elle converge donc vers selon le théorème de convergence monotone.

Attention, le fait que la suite soit croissante et majorée par te permet effectivement de conclure que la suite converge, mais ne te permet aucunement de dire qu'elle converge vers cette valeur. A ce stade tu sais que est un majorant, mais tu ne sais pas si c'est le plus petit des majorants.

7) Déduire en fonction de et déterminer sa limite.

Tu sais que la suite est constante, et donc tous les termes de cette suite sont égaux à que tu peux déterminer très facilement.

A partir de là, il suffit de reprendre la définition de la suite et pour une conclusion quasi immédiate.


Cordialement

[invite6bc0c7b8]

Merci de m'avoir répondu, en refaisant le calcul je trouve au numérateur.
C'est vrai que ce n'est peut être pas la plus petite majoration, donc je dis juste qu'elle est majorée.
Ensuite on a
Or, et on sait que donc donc