Les suites (un) et (vn) sont définies par
Un=1+1/1!+1/2!+⋯+1/(n-1)!+1/n! et vn= un =+1/n! pour tout n ›0
On notera que n!=1x2x3x...x (n-1) x n et qu'on lit n factorielle ou factorielle n.
1) montrer que (un ) est croissante et (vn) décroissante.
2) prouver que 1/n!≤1/n. En déduire lim vn -un lorsque n tend vers +∞
Lorsque 2 suites sont telles que l'une croissante et l'autre décroissante et que la limite de la différence de leur termes généraux soit nulles, on dit qu'elles sont adjacentes. Dans ce cas elles convergent vers une même limite.
3) calculer u7 et v7 pour trouver un encadrement de leur limite commune
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1)* on pose un+1-un= 1+1/1!+1/2!+⋯+1/(n+1-1)!+1/((n+1)!)-( 1+1/1!+1/2!+⋯+1/(n-1)!+1/n!)
=1/((n+1)!)-1/(n-1)!
Mais je ne suis pas sure cars pour moi, c'est négatif et donc décroissant....
*vn+1-vn= un+1+ 1/((n+1)!) - ( un+ 1/n!)
= = 1+1/1!+1/2!+⋯+1/(n+1-1)!+1/((n+1)!) + 1/((n+1)!) -(1 +1/1!+1/2!+⋯+1/(n-1)!+1/n!+ 1/n! )
= 1/((n+1)!) + 1/((n+1)!) - 1/(n-1)!- 1/n!
Je ne sait pas comment réduire....
2) on sait que n!=1x2x3x...x (n-1) x n et que n ›0 et puisque n!=1x2x3x...x (n-1) x n≥n
On sait aussi que n! est le plus grand dénominateur et que n est le plus petit dénominateur par conséquent 1/n!≤1/n. pour tout n ›0
Posons ensuite vn-un= un =+1/n! -un
= 1+1/1!+1/2!+⋯+1/(n-1)!+1/n!+1/n! - (1+1/1!+1/2!+⋯+1/(n-1)!+1/n!+1/n!)=0
Lim vn-un=0
n→+∞
3) u7=685/252= 2.4182 et v7=2.7184
Comment trouver l'encadrement?
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