Équation diophantienne

[invite2b0650e6]

Bonjour,

J'aimerais résoudre l'équation diophantienne suivante:

Trouver le(s) couple(s) avec et tels que



Toutes les méthodes sont les bienvenues: complexes, modulo, ... Même si je préfère quand il n'y a pas de complexes

J'ai essayé de plusieurs manières:

1) Arithmétique modulaire:

En travaillant modulo 4, on a


Mais puisqu'un carré est congru à 0 ou 1 modulo 4, on a que
et
et
Et là je bloques complètement. Suis-je sur la bonne voie?

2) J'ai remarqué que x et y sont nécessairement impairs.

En remplaçant par et par avec , j'obtiens

Cette nouvelle équation diophantienne est équivalente à la première et, puisque
on a
Et là je bloques aussi

3) J'ai aussi pensé à travailler avec des complexes mais je ne suis pas du tout familier avec ceux-ci. J'ai voulu les utiliser pour factoriser le membre de gauche:


Les diviseurs de 698 sont
Et ensuite constater que divise 698 donc est un des diviseurs ci-dessus. Mais je me rends compte que je ne peux pas faire cela car est un complexe.

Voilà j'ai fais tout ce que j'ai pu mais je n'y arrive pas
Aidez-moi s'il vous plait. Est-ce qu'une des méthodes permet de résoudre l'exercice? Que dois-je faire?

Merci d'avance
-----

[Amanuensis]

Sans intérêt en fait.......

[invite2b0650e6]

Bonsoir,

Que faut-il faire ensuite?

Merci

[gerald_83]

Bonjour,

Il me vient une idée bête.

x²+y² = 698 correspond à l'équation d'un cercle (de la forme x²+y²=z²) soit dans ce cas z² = 698 --> z= 26.42.

A partir de là tu peux t'aider d'une représentation graphique d'un cercle de rayon 26.42 et en déduire quelques couples caractéristiques résolvant cette équation.

C'est peut être lourd mais je n'ai rien d'autre au catalogue. Désolé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b0650e6]

Merci je vais faire ce que tu me dis et voir ce que je trouve

[Amanuensis]

Avec le modulo 8, on trouve une équation avec un nombre à droite assez faible, et tout essayer n'est pas très long à la main. Un peu brutal, mais cela aboutit. Il y a sûrement mieux.

[Médiat]

Et qu'est-ce que cela donne de plus que " x et y sont impairs " ?

[Amanuensis]

Peut-être rien, ça va juste plus vite (pour moi) pour obtenir la division par 16 qui amène à une équation avec 43 à droite (698 = 43x16 +10).

C'est de la bidouille...

(Une autre bidouille qui marche bien est modulo 10, 6 résidus quadratiques, et seuls deux cas marchent, (2,2) et (3,3), sympa. Reste plus beaucoup de cas.)

C'est des bidouilles pour quand on n'a que papier et crayon, pas des belles résolutions.

[shokin]

Bonjour,

J'aimerais résoudre l'équation diophantienne suivante:

Trouver le(s) couple(s) avec et tels que



Toutes les méthodes sont les bienvenues: complexes, modulo, ... Même si je préfère quand il n'y a pas de complexes

J'ai essayé de plusieurs manières:

1) Arithmétique modulaire:

En travaillant modulo 4, on a


Mais puisqu'un carré est congru à 0 ou 1 modulo 4, on a que
et
et
Et là je bloques complètement. Suis-je sur la bonne voie?

En fait, de là, tu t'aperçois que x et y doivent chacun se terminer par 3 ou 7 (écrits en base 10), si tu t'aides aussi du modulo 10.

Alors pourquoi ne pas essayer ensuite d'analyser (10m +- 3)² + (10n +- 3)² = 698 ? (avec m et n naturels) ?

[Amanuensis]

En fait, de là, tu t'aperçois que x et y doivent chacun se terminer par 3 ou 7 (écrits en base 10), si tu t'aides aussi du modulo 10.

Ils pourraient aussi se terminer tous les deux par 2 ou par 8.

[invite2b0650e6]

Bonsoir shokin,

Je n'ai pas très bien compris comment tu arrives à ce que le nombre se termine par 3 ou 7

Merci

[invite2b0650e6]

@Amanuensis
Ils sont impairs je l'avais mis dans le premier message

[invite2b0650e6]

En effet:

1/ et sont de même parité (voir mon calcul modulo 4)

Si ils étaient tous deux pairs, leurs carrés seraient tous deux multiples de 4, or 698 n'est pas multiple de 4

Donc ils sont tous deux impairs

CQFD

[invite2b0650e6]

Je crois que j'ai compris pourquoi le nombre se termine par un 3 ou un 7.

En développant l'expression de shokin j'ai



Et donc là je dois tester les petites valeurs?

[shokin]

Bonsoir shokin,

Je n'ai pas très bien compris comment tu arrives à ce que le nombre se termine par 3 ou 7

Merci

J'avais observé les carrés des entiers modulo 10, puis regardé ceux dont la somme donnait modulo 8. Il y avait 3 et 7 pour le 9, 2 et 8 pour le 4. Ensuite, modulo 4, comme tu l'as démontré, on a pu exclure le 2 et le 8, voyant que 698 n'est pas multiple de 4.

Ensuite, on voit que 27² = 729 est trop grand, donc le plus grand possible, pour le moment, est 23.

Après, tu peux analyser dans quelle classe modulo 3 se trouve 5m² (m naturel). Voyant aussi que 34 est dans la classe 1 modulo 3.

[invite2b0650e6]

puis regardé ceux dont la somme donnait modulo 8

? Ceux dont la somme donnait quoi modulo 8?

[shokin]

Bon, oui, là, le plus simple est de tester les valeurs 1 et 2, 3 étant déjà trois grand.

[shokin]

? Ceux dont la somme donnait quoi modulo 8?

Oups... je voulais dire "ceux dont la somme est dans la classe 8 modulo 10".

[invite2b0650e6]

Merci beaucoup shokin je vais prendre le temps de lire tes derniers messages (#15)

[invite2b0650e6]

Après, tu peux analyser dans quelle classe modulo 3 se trouve 5m² (m naturel). Voyant aussi que 34 est dans la classe 1 modulo 3.

Merci beaucoup shokin mais j'ai juste une question, comment as-tu trouvé qu'il fallait travailler modulo3?

[shokin]

En fait, le modulo 3 n'est pas nécessaire, vu le petit nombre de possibilités qu'il reste. En fait, le modulo 3 ne nous sert à pas grand-chose dans cette équation (5m² + 5n² +- 3m +- 3n = 34). En fait, si. On voit que m et n ne peuvent pas multiple de 3. Le carré d'un nombre naturel de classe 0 modulo 3 sera aussi de classe 0 modulo 3, ce qui ne va pas avec l'équation. Le carré d'un nombre naturel de classe 1 ou 2 modulo 3 est de classe 1 modulo 3, ce qui joue avec l'équation. Donc exit les multiples de 3.

[invite2b0650e6]

Merci!

Je vais inventer d'autres énoncés semblables et utiliser les techniques vues ici pour voir si il n'y a plus de problème.

[shokin]

Bons essais diophantiens.

[invite2b0650e6]

Bonsoir,

Je me suis entraîné et ça va super bien!

J'ai encore une question: si on a une équation diophantienne du type

(avec ) à résoudre pour

Et que l'on est certain que le système admet une solution

Est-il possible que l'équation admette une autre solution (hormis la solution triviale obtenue en permutant x et y)?

Merci d'avance

[Médiat]

Bonjour,

le problème de la décomposition d'un entier en somme de 2 carrés est complètement résolu, on sait à quelle condition c'est possible et de combien de façons (théorème de Fermat, encore lui)

[shokin]

Et que l'on est certain que le système admet une solution

Tu trouveras facilement des contre-exemples, des équations où tu ne trouves pas de couples (x;y) avec x et y naturels. Par exemple x² + y² = 3.

Est-il possible que l'équation admette une autre solution (hormis la solution triviale obtenue en permutant x et y)?

Tu trouveras également des cas avec plusieurs couples différents. En effet :

Soit avec

alors



De là, il suffit de trouver quatre nombres entiers tous congruents entre eux modulo 2 tels que le produit de deux d'entre eux égale le produit des deux autres. Ces nombres seront égaux aux parenthèses.

Par exemple,



Donc



En effet,



Donc, une équation à deux solutions (de couples de nombres naturels) serait :



Bon, la méthode que je viens de t'indiquer ne va peut-être pas t'apporter tous les cas possibles d'équations de ce type à deux solutions. Mediat pourra t'en dire plus à ce sujet-là.

[invite2b0650e6]

Merci pour vos réponses

[aghrayl]

Voici une maniere de construire une solution

On a 698 = 2*349
349 est un nombre premier congru à 1 modulo 4
Par theoreme 349 est une somme de deux carrés
On trouve $349 = 5^2+18^2$
De plus on a l'identité $$2(a^2+b^2)=(a-b)^2+(a+b)^2$$
On a alors $698=(5-18)^2+(5+18)^2$

Cordialement

[invite2b0650e6]

Voici une maniere de construire une solution

On a 698 = 2*349
349 est un nombre premier congru à 1 modulo 4
Par theoreme 349 est une somme de deux carrés
On trouve $349 = 5^2+18^2$
De plus on a l'identité $$2(a^2+b^2)=(a-b)^2+(a+b)^2$$
On a alors $698=(5-18)^2+(5+18)^2$

Cordialement

Merci cela peut être utile mais ça ne donne pas l'ensemble des solutions.