Algorithme et récurrence

[Casillas38]

Bonsoir à tous ! J'ai besoin d'aide pour un exercice qui me pose problème

On pose : U0 = 0 et Un+1 = 1/3Un + 2

1) Démontrer que pour tout n>>0, Un<<Un+1<<3 (<< signifie inférieur ou égal)
Qu'en déduire ?

2) On admettra que lim(n+oo) Un = 3. Ecrire un algorithme demandant à l'utilisateur d'entrer une précision p, et envoyant le premier rang n vérifiant : 3-p < Un < 3


1) Pour la 1 je fais l'initialisation et après je suis bloqué ...
Par pour contre j'ai répondu à la question "Qu'en déduire". Je pense que puisqu'on a Un<<Un+1, alors la suite est croissante. De plus, la suite est majorée par 3 et donc la suite (Un) est convergente.


2) Pour cette question j'ai essayer de faire quelque chose mais je ne suis vraiment pas sure...


Entrer p

Si, 3-p < Un < 3
Alors, afficher n

Sinon afficher "pas de solutions"



J'ai vraiment besoin de votre aide ...


Merci d'avance
-----

[Gandhi33]

Bonjour,

Une manière de faire est de trouver le terme général
Tu as


Tu résous ensuite l'équation du polynôme caractéristique

est une solution et sa multiplicité est 1
Donc maintenant tu dois trouver les réels et tels que

C'est à dire résoudre le système

Les solutions sont et

Donc, finalement

A partir de là il devient très simple de répondre à toutes les questions

Cordialement,

Gandhi

[PlaneteF]

Une manière de faire (...)

Bonjour,

Je doute fort que cela soit la manière attendue dans un exo du Lycée, ... et en plus de cela que la question 1) se résout très simplement et très facilement sans cela

Cordialemnt

[Noct]

Ton algorithme n'a aucun sens. La seule variable que tu lui fais entrer est p , et tu lui demandes de tester une inégalité sur "Un" et d'afficher "n", que tu n'a pas définis.
Tu cherches le plus petit entier n tel que Un est dans [3-p;3]. Il va vraisemblablement falloir boucler quelque part ( Tant que ... faire ceci ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Casillas38]

J'ai refait mon algorithme :

Entrer p, Un

Si, 3-p < Un < 3
Alors afficher n

Sinon afficher n+1

[Noct]

Non , ce n'est toujours pas ça. Apparament tu n'as toujours pas compris de quoi il était question dans l'algorithme.
La seule variable que l'utilisateur doit entrer et p.
Ensuite l'algorithme teste si , est dans l'intervalle , si ce n'est pas le cas , on teste sur et ainsi de suite jusqu'à atteindre un rang , tel que soit dans cet intervalle.
L'algorithme doit ensuite afficher ce .

[Casillas38]

Je retente une nouvelle fois




Variables : p, U, n et k un compteur


Début Algorithme

Entrer p
k prends la valeur 0
U prends la valeur 0
Tant que U < 3-p
Alors U prends la valeur 1/3U + 2
Et k prends la valeur de k+1
Si, 3-p < U < 3
Alors, n prends la valeur de k

Fin algorithme

[Noct]

Dommage , cet algorithme n'affiche rien à la fin !

Si, 3-p < U < 3

A partir du moment où tu utilises la boucle Tant que , cette ligne est inutile , après la fin de la boucle , cette condition sera vérifiée de toute façon. Cette ligne doit être remplacée par un "Fin tant que"

[Casillas38]

Donc il faudrait faire comme ça ?



Variables : p, U, n et k un compteur


Début Algorithme

Entrer p
k prends la valeur 0
U prends la valeur 0
Tant que U < 3-p
Alors U prends la valeur 1/3U + 2
Et k prends la valeur de k+1
Fin tant que
n prends la valeur de k
Afficher k
Fin algorithme

[Casillas38]

Je me suis trompé à l'avant dernière ligne je voulais mettre "Afficher n"

[Noct]

Attention aux parenthèses , c'est "(1/3)U + 2".
Tu pouvais directement afficher k , au lieu de dire que n prend la valeur k.
Sinon c'est bon.

[Casillas38]

Merci beaucoup pour ton aide

Donc du coup ça donne :



Variables : p, U, n


Début Algorithme

Entrer p
n prends la valeur 0
U prends la valeur 0
Tant que U < 3-p
Alors U prends la valeur (1/3)U + 2
Et n prends la valeur de n+1
Fin tant que
Afficher n
Fin algorithme