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suites par récurrence et algorithme




  1. #1
    naurhat

    suites par récurrence et algorithme

    Bonjour,
    j'ai un exercice de dm math à faire et je comprend pas ! Voici l'énoncé :

    Partie A :
    Algorithme j'ai su le faire et pour N=3, il affiche 29.

    Partie B
    On considère la suite (Un) définie par Uo=0, pour tout entier naturel n, Un+1 =3Un-2n+3

    1- Calculer U1 et U2

    2- a- Démontrer par réccurence que, pour tout entier naturel n, Un≥n
    b- En déduire la limite de la suite (Un)

    3- Démontrer que la suite (Un) est croissante

    4- Soit la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=Un-n+1
    a- Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique
    b- En déduire que, pour tout entier naturel n, Un=3^n+n-1

    5- soit p un entier naturel non nul
    a- Pourquoi peut on affirmer qu'il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n≥n0,Un≥10^p?
    On s'intéresse maintenant au plus petit entier n0
    b- Justifier que n0≤3p
    c- Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p=3
    d- proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n≥n0, on ait Un≥10^p


    Mes réponses :
    1- U1=3
    U2= 6


    Merci d'avance

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    Bonjour
    tu bloques où ? et surtout écris nous ce que tu as fait .

  4. #3
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    J'ai juste fais l'algorithme et la questions 1 comme j'ai marqué


  5. #4
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    tu pourrais faire ça :
    Un+1 =3Un-2n+3 et U0=0

    1- Calculer U1 et U2

  6. #5
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    1- U1 = 3xU0-2xU0+3
    = 0-0+3
    =3

    U2=3xU1-2xU1+3
    = 3x3-2x3+3
    =6

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    2- a- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un≥n
    U1=3 >1 vrai
    U2=6>2 vrai
    on suppose P(n) vrai et on démontre P(n+1)
    P(n) vrai ça veut dire quoi ?

  9. #7
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    Que p(n) est vraie pour tout n>0

  10. Publicité
  11. #8
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    oui mais c'est quoi P(n) dans notre cas ?

  12. #9
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    C'est Un non ?

  13. #10
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    P(n) vrai cad Un>= n
    il faut démontrer que Un+1>=n+1 en partant de la définition de Un+1 =3Un-2n+3

  14. #11
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    etape 1: initialisation

    U1=3>1
    U2=6>2
    P(n) est vrai

    Etape 2 : hérédité
    Soit n fixé
    hypothèse : Un>=n
    montrons que Un+1>=n+1

    Je sais que Un>=N
    Un+1= 3Un-2n+3
    mais la je sais pas je bloque

  15. #12
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    si Un>=n donc 3Un>= ? pour le premier terme , à cela faudra retrancher 2n et ajouter +3 et comparer / (n+1)

  16. #13
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    donc sa fais 3xU0-2xU0+3 = 3
    je comprend pas !

  17. #14
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    Hypothèse de récurrence Un>=n
    il faut démonter que la propriété est vraie à l'ordre (n+1) cad U(n+1)>= n+1
    tu sais que U0 est vraie , U1 idem , il faut démonter quelque soit n , y compris n+1 , on aura toujours Un>=n
    Help

  18. #15
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    Mais la je dois faire quoi ?

  19. #16
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    il faudra démontrer que U(n+1)>= n+1

  20. #17
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    je suis totalement perdu ! je suis dsl

  21. #18
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    je crois que j'ai trouvé
    U(n+1)>=n+1
    Un+1>=n+1
    3Un-2n+3>=n+1

  22. #19
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    non , ce n'est pas comme ça qu'il faut faire .
    Hypothèse récurrence : Un>=n => 3Un>=3n => 3Un+3>=3n+3
    je te laisse réfléchir sur la comparaison de : 3Un-2n+3 et 3n+3-2n

  23. #20
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    Un>=n
    3Un>=3n
    3Un+3>=3n+3
    3Un+3-2n<=3n+3-2n
    Un+1<=1n+3

  24. #21
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    est ce que 3Un+3-2n>= ( n+1 ) ?

  25. #22
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    bin non !...
    Dernière modification par naurhat ; 23/09/2012 à 17h41.

  26. #23
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    et alors ?

  27. #24
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    Pn est faux pour tout n>=o

  28. #25
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    tu veux dire P(n) vrai pour tout n>=0 j’espère
    pour la suite :
    3- Démontrer que la suite (Un) est croissante
    il faudra trouver le signe de Un+1-Un ou Un+1/Un ( tenir compte Un>=n)

    4- Soit la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=Un-n+1
    a- Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique
    ça tu connais
    b- En déduire que, pour tout entier naturel n, Un=3^n+n-1
    découle de la 4)a
    Dernière modification par jamo ; 23/09/2012 à 17h48.

  29. #26
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    oui désolé

  30. #27
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    4a- Vn+1= Un+1-(n+1)+1
    = Un+1-n-1+1
    = Un+1-n
    = 3Un-2n+3-n
    = 3Un-3n+3
    = 3(Un-n+1)
    = 3Vn
    La suite est géométrique de raison 3 et de 1er terme Vo=1

    Vo= Uo-o+1 = 1
    Vn= Vo x 3^n

    Et j'aurai besoin d'aide pour la question 5

  31. #28
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    Bonjour
    pour la 5) si Vn=Un-n+1 alors Un=...
    et la question 3 ?

  32. #29
    naurhat

    Re : suites par récurrence et algorithme

    3- Un+1-Un=3Un-2n+3-Un
    =2Un-2n+3

    On sait que Un>=n
    2Un>=2n
    2Un-2n>=2n-2n
    2Un-2n+1>=2n-2n+3

    Un+1-Un>=0
    Un+1>=Un
    Un est croissant

  33. #30
    jamo

    Re : suites par récurrence et algorithme

    Citation Envoyé par naurhat Voir le message
    3- Un+1-Un=3Un-2n+3-Un
    =2Un-2n+3

    On sait que Un>=n
    2Un>=2n
    2Un-2n>=2n-2n => 2Un-2n>=0 car 2n-2n=0
    2Un-2n+1>=2n-2n+3
    ?

    Un+1-Un>=0
    Un+1>=Un
    Un est croissant
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