suites par récurrence et algorithme

[invitee7639d5a]

Bonjour,
j'ai un exercice de dm math à faire et je comprend pas ! Voici l'énoncé :

Partie A :
Algorithme j'ai su le faire et pour N=3, il affiche 29.

Partie B
On considère la suite (Un) définie par Uo=0, pour tout entier naturel n, Un+1 =3Un-2n+3

1- Calculer U1 et U2

2- a- Démontrer par réccurence que, pour tout entier naturel n, Un≥n
b- En déduire la limite de la suite (Un)

3- Démontrer que la suite (Un) est croissante

4- Soit la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=Un-n+1
a- Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique
b- En déduire que, pour tout entier naturel n, Un=3^n+n-1

5- soit p un entier naturel non nul
a- Pourquoi peut on affirmer qu'il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n≥n0,Un≥10^p?
On s'intéresse maintenant au plus petit entier n0
b- Justifier que n0≤3p
c- Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p=3
d- proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n≥n0, on ait Un≥10^p


Mes réponses :
1- U1=3
U2= 6


Merci d'avance
-----

[jamo]

Bonjour
tu bloques où ? et surtout écris nous ce que tu as fait .

[invitee7639d5a]

J'ai juste fais l'algorithme et la questions 1 comme j'ai marqué

[jamo]

tu pourrais faire ça :
Un+1 =3Un-2n+3 et U0=0

1- Calculer U1 et U2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee7639d5a]

1- U1 = 3xU0-2xU0+3
= 0-0+3
=3

U2=3xU1-2xU1+3
= 3x3-2x3+3
=6

[jamo]

2- a- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un≥n
U1=3 >1 vrai
U2=6>2 vrai
on suppose P(n) vrai et on démontre P(n+1)
P(n) vrai ça veut dire quoi ?

[invitee7639d5a]

Que p(n) est vraie pour tout n>0

[jamo]

oui mais c'est quoi P(n) dans notre cas ?

[invitee7639d5a]

C'est Un non ?

[jamo]

P(n) vrai cad Un>= n
il faut démontrer que Un+1>=n+1 en partant de la définition de Un+1 =3Un-2n+3

[invitee7639d5a]

etape 1: initialisation

U1=3>1
U2=6>2
P(n) est vrai

Etape 2 : hérédité
Soit n fixé
hypothèse : Un>=n
montrons que Un+1>=n+1

Je sais que Un>=N
Un+1= 3Un-2n+3
mais la je sais pas je bloque

[jamo]

si Un>=n donc 3Un>= ? pour le premier terme , à cela faudra retrancher 2n et ajouter +3 et comparer / (n+1)

[invitee7639d5a]

donc sa fais 3xU0-2xU0+3 = 3
je comprend pas !

[jamo]

Hypothèse de récurrence Un>=n
il faut démonter que la propriété est vraie à l'ordre (n+1) cad U(n+1)>= n+1
tu sais que U0 est vraie , U1 idem , il faut démonter quelque soit n , y compris n+1 , on aura toujours Un>=n
Help

[invitee7639d5a]

Mais la je dois faire quoi ?

[jamo]

il faudra démontrer que U(n+1)>= n+1

[invitee7639d5a]

je suis totalement perdu ! je suis dsl

[invitee7639d5a]

je crois que j'ai trouvé
U(n+1)>=n+1
Un+1>=n+1
3Un-2n+3>=n+1

[jamo]

non , ce n'est pas comme ça qu'il faut faire .
Hypothèse récurrence : Un>=n => 3Un>=3n => 3Un+3>=3n+3
je te laisse réfléchir sur la comparaison de : 3Un-2n+3 et 3n+3-2n

[invitee7639d5a]

Un>=n
3Un>=3n
3Un+3>=3n+3
3Un+3-2n<=3n+3-2n
Un+1<=1n+3

[jamo]

est ce que 3Un+3-2n>= ( n+1 ) ?

[invitee7639d5a]

bin non !...

[jamo]

et alors ?

[invitee7639d5a]

Pn est faux pour tout n>=o

[jamo]

tu veux dire P(n) vrai pour tout n>=0 j’espère
pour la suite :
3- Démontrer que la suite (Un) est croissante
il faudra trouver le signe de Un+1-Un ou Un+1/Un ( tenir compte Un>=n)

4- Soit la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=Un-n+1
a- Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique
ça tu connais
b- En déduire que, pour tout entier naturel n, Un=3^n+n-1
découle de la 4)a

[invitee7639d5a]

oui désolé

[invitee7639d5a]

4a- Vn+1= Un+1-(n+1)+1
= Un+1-n-1+1
= Un+1-n
= 3Un-2n+3-n
= 3Un-3n+3
= 3(Un-n+1)
= 3Vn
La suite est géométrique de raison 3 et de 1er terme Vo=1

Vo= Uo-o+1 = 1
Vn= Vo x 3^n

Et j'aurai besoin d'aide pour la question 5

[jamo]

Bonjour
pour la 5) si Vn=Un-n+1 alors Un=...
et la question 3 ?

[invitee7639d5a]

3- Un+1-Un=3Un-2n+3-Un
=2Un-2n+3

On sait que Un>=n
2Un>=2n
2Un-2n>=2n-2n
2Un-2n+1>=2n-2n+3

Un+1-Un>=0
Un+1>=Un
Un est croissant

[jamo]

3- Un+1-Un=3Un-2n+3-Un
=2Un-2n+3

On sait que Un>=n
2Un>=2n
2Un-2n>=2n-2n => 2Un-2n>=0 car 2n-2n=0
2Un-2n+1>=2n-2n+3 ?

Un+1-Un>=0
Un+1>=Un
Un est croissant

voir remarque