exercice sur suite de U(n)

[invitecb5a1900]

Bonjour,
j'ai un DM de maths et je bloque !!! pouvez-vous m'aider ...
voici l'intitulé:

Soit (Un) une suite définie pour n>1 par - U(1)=1/2
-U(n+1)=(n+1/2*n)*Un
1)calculer U(2) ; U(3) ;U(4)

-->j'ai trouvé : U(2) = 0.75 ; U(3)=0.875 ; U(4)=0.938

2) On admet que pour tout n>1 Un est strictement positif. Démontrer que la suite (Un) est strictement décroissant.

-->J'ai fait : U(n+1)-U(n)=(n+1/2n)*Un-Un= -(n+1/2n)*Un
alors -(n+1/2n)<0 donc -(n+1/2n)*Un<0 dc décroissant

3) Pour tout n>1 On pose Vn=Un/n
--> je n'y arrive pas ...

4)a. montrer que la suite Vn est géométrique puis préciser sa raison q et son premier terme V1
b. en déduire que pour n>1 Un=n/2(puissant)n

5) En utilisant une calculatrice ou un tableur , déterminer les 10 premiers termes de la suite Un , quelle conjecture peut-on faire concernant la limite en +infini de n/2(puissance)n
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[invite6d1f3188]

Pour Vn=Un/n , tu ne connais pas Un mais tu connais Un+1, donc tu fais Vn+1=Un+1/(n+1) et si tout vas bien tu trouvera une expressions de Vn+1 en fonction de Un et de n

[invitecb5a1900]

oki merci !!
dc ça fait : Vn+1=(n+1/2n *Un)/n+1 ça j'avais trouvé mais c'est après je n'arrive pas à simplifier :/ Il faut factoriser avec les n ?? ou il faut supprimer les n+1 mais après il reste le 2...

[invite6d1f3188]

Il ne faut pas factoriser, il faut que tu remplace le Un avec une expression en fonction de Vn et n, et pour ça tu doit réutiliser L expression Vn=Un/n pour trouver à quoi est égal Un puis u peux remplacer Un

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6d1f3188]

L'expression dé Un+1 tu peux le simplifier en Un*(3/2)n, et donc ca te donne Vn+1=(Un*(3/2)n)/n=(Un/n)*(3/2)

Ensuite tu a juste à remplacer le Un par Vn*n

[invite6d1f3188]

T es sur que Un+1=(n+(1/2)*n)*Un ? Je trouve U2=0,75 ; U3=2,25 ; U4=5,06 ��

[invitecb5a1900]

d'accord mais comment as tu fait pour trouver que Un+1 on peut le simplifier Un*(3/2)n ??? pourquoi il faudrait remplacer Un par Vn*n ( produit en croix pour trouver Un )??

[invite8d4af10e]

(n+1/2*n)=n(1+1/2) et 1+1/2=3/2 ....
quand même , c'est le changement d'heure ?

[invitecb5a1900]

ouii je me suis trompé je trouve bien U2=0.75 U3=2.25 mais pour U4=10.125

[invitecb5a1900]

Aaaah!!! ok merci mdr.. oui on va prendre l'excuse

[invite6d1f3188]

Du coup elle est bizarre la question 2, il faut admettre que (Un) est strictement décroissante alors qu elle est croissante :/

Oui en effet U4=10,125 je m'étais trompé

[invitecb5a1900]

ouii moi aussi je trouve ça bizarre mais elle doit être Décroissante :/

[invitecb5a1900]

donc j'ai trouvé que Vn= (3/2)*Vn je sens que j'ai faux

[invite6d1f3188]

Nan on toruve que Vn+1=(3/2)*Vn, donc (Vn+1)/(Vn)=3/2 alors tu peux dire que la suite (Vn) est géométrique de raison 3/2. Ensuite pour trouver l'expression de Vn en fonction de il te suffit de calculer Vn pour le premier rang n puis tu écrira que Vn=V(nMin)*r^n