Exercice suite

[invitedd8db348]

Bonjour à tous,
je bloque sur un exercice de mon DM, qui, je trouve, est assez compliqué. J'ai besoin de vous. Cet exercice est composé de deux parties.
Pourriez vous me dire ce que vous trouver pour la question 2)a/, j'ai peur de m'etre tromper. Je trouve: w0=1, w1=2, w2=1.5, w3=1.667, w4=1.6, w5=1.625 ... Cependant lorsque je regarde les resultats pour wn+1 = 1 + (1/wn), je trouve pour w0,w1,w2 ... des resultats tout a fait différent; ne sont ils pas censé etre les memes ?
De plus je bloque sur toute la deuxieme partie avec les lapins; je ne vois pas du tout comment repondre ... :/

Voici l'énoncé:
La suite de Fibonacci (mathématicien italien du XIIIème appelé aussi Léonard de Pise) v est la suite définie par v0 =v1 =1 et pour tout n, vn+2 = vn + vn+1.
1) Calculer les termes de la suite de v2 à v11.
2) Pour tout entier n, on pose wn = (vn+1) / (vn)
a) Calculer les termes de la suite w de w0 à w10. on arrondira les valeurs au millième.
b) Démontrer que pour tout n, wn+1 = 1 + (1/wn)
3) f est la fonction défnie sur ]0;+ [ par f(x)= 1 + (1/x).
a) Dans un repère orthonormé, tracer C sa courbe representative et la droite D d'équation y=x.
b) A l'aide de C et D, representer les premiers termes de la suite w.
c) Calculer l'abscisse du point d'intersection de C et D.
d) Conjecturer la limite de la suite de w.

Maintenant arrive la partie sur laquelle je bloque.
Attention: lapins.
En 1228, Léonard de Pise publiait dans un recueil intitulé Liber Abaci, le problème suivant: "On place dans un enclos un couple (male et femelle) de lapereaux; Chaque couple agé de 2 mois donne naissance chaque mois a un nouveau couple (male et femelle). Si aucun lapin ne meurt, combien y aura-t-il de couple le n'ième mois ?". Soit Fn le nombre cherché.
a) Verifier que F1=F2=1; F3=2 et F4=3 puis la relation pour tout n superieur ou egal à 1, Fn+2=Fn+1 + Fn
b) En deduire la valeur de Fn pour n inferieur ou egal à 20

Merci d'avance pour vos reponses
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[inviteec14493b]

Hello ! Tout d'abord, tu as du te tromper en calculer les wn avec la formule : wn+1=1+1/wn, car que ce soit par l'une et l'autre des formules, je trouve bien les résultats que tu as énoncés pour w1, w2, w3... (je me suis arrêtée là). Cela dit, je te conseille d'écrire tes résultats sous forme de fractions, tu y verras plus clair (selon moi).

Exemple : tu as bien :
w1=v2/v1=2 (avec la définition de la suite de wn) et w0=1
Et : w1=1+1/(w0)=1+1=2 avec la formule trouvée par la suite

w2=v3/v2=3/2
Et : w2=1+1/w1=1+1/2=3/2

Etc...


Ensuite pour les lapins (sérieusement, des lapins... u_u), je ne vais pas te donner la réponse tout de suite, essaye de faire un dessin (je suis une quiche en dessin, mais t'es pas obligé de faire un truc élaboré hein xD), avec une case par mois et en y plaçant par exemple un cercle par couple de lapins. Ensuite tu remplis les cases, en y faisant apparaître un cercle supplémentaire par couple de lapins né. Attention, n'oublie pas de remettre les couples déjà présents, et n'oublie pas non plus le fait que les couples en font naître d'autres lorsqu'ils sont âgés de deux mois ou plus. Tu peux déjà trouvé comme ça F1, F2, F3... et faire apparaître un schéma pour ton raisonnement.

Exemple :
1ère case : 1 couple de lapins (celui de départ), donc F1=1
2e case : 2e mois, mais le couple n'était pas encore en âge de se reproduire, donc il n'a pas de descendant pour le moment => F2=1

Etc... je te laisse la suite qui est le plus important J'espère avoir été utile, je n'excelle pas dans les explications, mais bon...
Bon courage !

[invitedd8db348]

Merci, effectivement, je dois avoir un bug avec mon logiciel pour ce qui est de l'histoire des w.
Cependant, pour la partie des lapin, je ne vois pas du tout comment repondre, ca va faire une heure que je planche dessus, et y a rien du tout ... :/

[invitedd8db348]

Personne ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Exemple :
1ère case : 1 couple de lapins (celui de départ), donc F1=1
2e case : 2e mois, mais le couple n'était pas encore en âge de se reproduire, donc il n'a pas de descendant pour le moment => F2=1

Cwyn t'a donnée le principe! Essaye donc de faire comme il t'a dit pour trouver les premiers termes de la suite. Après tu essaieras de généraliser.

Il a un couple de lapins au début.
A la fin du 1er mois, le couple de lapins est toujours là puisque ce sont des lapins immortels. Cependant ils sont trop jeunes et innocents pour se consacrer aux plaisirs charnels, alors ils ne font que manger des carottes --> tj 2 lapins
A la fin du 2nd mois les lapins coquins copulent comme des lapins et Mme Bunny donne naissance à un couple de lapereaux --> 4 lapins
A la fin du 3e mois les lapins initiaux sont toujours là, et rebolote crac boum un autre couple de bébés lapins. Dans le même temps les lapereaux du mois précédent, maintenant lapins ados, mangent du chou --> 6 lapins
A la fin du 4e mois il se passe plein de choses: les lapins initiaux sont chauds comme la braise et font des nouveau petits. Les lapins ados du mois précédent ont grandi et suivent l'exemple de papa maman. Les bébés lapins du mois précédent mangent des navets --> 2 lapins initiaux, leurs enfants adultes, les bébés du couple initial, les bébés de la seconde génération et ceux qui mangent des radis --> 10 lapins.

Etc, etc. Il y a une logique dans tout ça, essaie de la formaliser. On reste dans le cas où les lapins sont monogames. D'accord c'est pas bon de vivre en otarsie, mais les lapins infidèles ca complique sensiblement la chose. Et les lapines infidèles encore plus *va se faire taper sur les doigts*

Allez bon courage!

[invitee4ef379f]

En gros l'idée c'est de dire: tous les couples de lapins de plus de deux mois donnent un nouveau couple, les autres sont simplement là.