Exercice suite

[inviteba1010f6]

Bonjour j'ai un exercice sur les suites et malgré le fait que j'en ai déjà fait celui ci me pose plus de problème:
Soit (Un) et (Vn) les suites réelles définies par (U₀,V₀) éléments de (R+*)² et, pour tout n de N:
U[n+1] = (1/2)*U[n]+(1/2)*V[n]
V[n+1] = 2*U[n]*V[n]/(U[n]+V[n])

Montrer que (Un) et (Vn) convergent et ont la même limite que l'on déterminera.

J'ai montré que U[n+1]-V[n+1] > 0
U_n+1-Un = (Un-Vn)/2
V_n+1-Vn = Un*(Vn-1)/(Un+Vn)

mais je ne vois pas quoi trop en tirer.
Je comptais aussi assimiler U_n+1 et Un à une limite L et V_n+1 et Vn à une limite L' puis les remplacer dans mes expressiosn mais je n'aboutis à rien non plus.

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[inviteec33ac08]

Ben pour le début utilise le théorème toute suite croissante et majorée converge puis après montre que ces suites sont adjacentes et si elles sont adjacentes elles tendent vers la même limite.

[inviteba1010f6]

Mais j'ai bien essayé de faire ce que tu me dis malheureusement je bloque.
J'ai fais U_n+1-V_n+1=(U_n-V_n)²/2(U_n+V_n)
J'ai donc U_n+1-V_n+1 > 0

De là j'essaie de prouver que U_n+1-V_n+1
tend vers 0 en posant :
W_n=(U_n-V_n)²/(U_n+V_n)
mais je n'ai aucun premier terme donc je ne vois pas comment faire

Je calcul ensuite
U_n+1-U_n= (V_n-U_n)/2
U_n+1-U_n=((U_n+V_n)(U_n+1-V_n+1))^1/2

Donc U_n+1-U_n >0 et U_n est croissante.

Mais lorsque je calcul :
V_n+1-V_n=V_n(U_n-V_n)/(U_n+V_n)

Mais je n'arrive pas à déterminer son signe.

Pour prouver que ses suites ont la même limite je considère que lorsque n tend vers l'infini j'ai U_n+1=U_n= L
et V_n+1=V_n= L'
Et j'obtiens bien en remplaçant dans les égalités de départ L = L'.

Si quelqu'un a une piste de calcul je suis preneur car je sens que cet exercice est simple mais j'ai beau le tourner dans tous les sens je ne vois pas ce que je rate.