Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite (un) où un désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
1- Montrer que la situation peut être modélisée par u0 = 50 et pour tout entier naturel n par la relation :
un+1 = 0,95 un + 3
2- On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :
vn = 60 – un
a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,95.
b) Calculer v0. Déterminer l’expression de vn en fonction de n.
c) Démontrer que pour tout entier naturel n :
un = 60 – 10 × (0,95)ⁿ
3- Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l’unité.
4- a) Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l’égalité :
un+1 – un = 0,5 × (0,95)ⁿ
b) En déduire la monotonie de la suite.
5- Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le nombre d’arbres de la forêt en 2010.
6- Déterminer la limite de la suite (un). Interpréter.
Donc j'ai fais toutes les questions, je suis à la question 4 a)
On sait que Un+1= 0.95Un+3 ( question 1) et Un=60-10x(0.95), la soustraction des deux valeurs ne fait pas 0.5x(0.95)^n
Merci !
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