Terminale S sur les limites de fonctions

[lion-bleu]

Bonjour tout le monde,
Je viens d'arriver sur ce forum et comme beaucoup d'étudiants j’imagine, je viens demander de l'aide pour un DM en maths sur les limites de fonctions que je dois rendre à la rentrée. C'est un devoir de Terminale S. Je l'ai bien avancé (j'ai fait tout l'exo 1 j'ai juste des doutes sur la dernière question) mais je bloque beaucoup sur l'exercice 2 en particulier qui est plus important. J'aime pas les racines carré. lol Si quelqu'un peut m'aider ça serait cool vraiment. Je vous mets l'exo. Merci d'avance à tous ceux qui m'aideront.
Ex2: Soit f la fonction définie par f(x)=x+(racine carrée de x au carré -1)
1) Trouver l'ensemble de définition (ça c'est bon normalement)
2) Montrer que pour tout x de D on a f(x) x f(-x)=-1 ( c'est là qu'entre les fameux calculs de racine je crois..)
3) a) Determiner la limite de f en + infini puis en déduire en utilisant le 2) la limite de f en - infini (toujours ses racines qui me bloquent)
b) Retrouvez ces derniers par le calcul direct
4) Montrez que la droite (d) d'équation y=2x est asymptote oblique à Cf en + infini ( ça je sais faire et je l'ai réussi normalement mais il me manque juste de savoir les résultats des questions précédentes pour compléter la rédaction)
5) Etudier la position relative de (d) et de Cf pour x supérieur à 1. ( Je vois la méthode mais j'aurais besoin d'aide pour me confirmer le résultat du calcul d(x) = f(x) - (2x) et les tableaux de signe histoire d'être tranquille)
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[Samuel9-14]

Pour savoir ce qui te bloque vraiment, il faudrait que tu nous montres ce que tu as fait et où tu bloques vraiment.
Si tu as un vrai problème avec les racines (et visiblement c'est le cas...), toute l'aide qu'on t'apportera sera inutile si on ne traite pas le problème avant.

NB : la question 3 me surprend, moi j'aurais calculé directement la limite en + infini et j'en aurais dédui celle en - infini grace à 2. Perso je ne vois pas trop comment trouver la limite en + infini ET - infini suelement avec la question 2)

[BBR56]

Bonjour,

il n'est pas demandé dans la 3)a) de déduire de 2 la limite en +infini. On demande de calculer la limite en +infini puis d'en déduire celle en -infini grace à 2.

cordialement

[Samuel9-14]

Oui mais dans la b il demande de retrouver CES résultats... Enfin bref, peu importe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[lion-bleu]

Bonjour me revoilà,
oui BBR56 a raison c'est comme ça que je voyais la question aussi.
Au niveau de mes débuts de réponses..
1) ensemble de définition= R
2) f(x) x f(-x)= (x+ racine carré de x au carré -1) x ( -x + racine carré de (-x)au carré -1)
Je pense qu'il faut continuer avec l'expression conjuguée pour faire disparaître les racines?
= (x + racine carré de x au carré - 1) x ((-x) - racine carré de x au carré -1) / ((-x) - racine carré de x au carré -1)
je bloque parce que je crois que mon expression conjuguée n'est pas bonne..
3) lim qd x --> + infini de x = + infini et lim qd x tend vers + infini de racine carré de x^2 -1= + infini
donc lim qd x tend vers + infini de f(x) = + infini
Pour - infini, n'ayant pas la rep du 2, je pense quand même que ca doit etre - infini mais je sais pas l'expliquer.
4) Lim qd x tend vers + infini de f(x) = + infini
Donc il peut y avoir une asymptote oblique d'équation y=2x à Cf en + infini
Pour cela, il faut vérifier : lim qd x tend vers + infini de (f(x) - (2x))=0
Donc lim qd x tend vers + infini de (f(x) - (2x))= Lim qd x tend vers + infini de f(x) = ... (0) mais je sais pas le prouver.
Donc la droite (d) d'équation y=2x est asymptote oblique à Cf en + infini.
5) Soit d(x)= f(x) - (2x) = x + racine carré de x^2 - 1 - 2x = -x + racine carré de x^2 -1 (Je pense que je peux pas aller plus loin au niveau du calcul et qu'il faut passer au tableau de signe.
La c'est galère parce que je vois pas trop comment expliquer sur le forum un tableau de signe.
je vais essayer : donc j'ai mis que -x est positif sur ]-infini;0[ et négatif sur ]0;+ infini[
pour la racine ( les valeurs qui annulent sont 1 et -1) Racine carré de x^2 - 1 est positif sur ]-infini;-1[ et ] 1; + infini[ et négatif sur ]-1; 1[
d(x) est positif sur ]-infini; -1[ et ]0;1[ et négatif sur ]-1;0[ et ]1; + infini[
Comme on ns demande pour x supérieur à 1, d(x) est inférieur à 0 donc Cf est au dessous de (d).
voilà dites moi ce que vs en pensez.

[lion-bleu]

je me suis plantée je viens de voir que pour la 3b) c'est juste ce dernier résultat par un calcul direct qu'il faut retrouver. Excusez moi.

[Victzz]

Salut ,

Pour la 1) c'est faux : regarde par exemple ce qui se passe en 0

[lion-bleu]

je viens de me rendre compte que j'ai dit une bêtise pour le signe de la racine à la 5) vu quelle est définie sur [1; + infini[ donc elle est positive sur cet ensemble de définitions et n'existe pas sur le reste. Je ferais mon tableau qu'à partir de [1;+ infini[.

[lion-bleu]

Ah oui t'as raison en effet. Du coup est que ça serait [1;+ infini[ ?

[Victzz]

Résous l'équation x²-1>=0 et tu vas trouver il te manque un bout

[lion-bleu]

Bonjour me revoilà,
oui BBR56 a raison c'est comme ça que je voyais la question aussi.
Au niveau de mes débuts de réponses..
1) ensemble de définition= R
2) f(x) x f(-x)= (x+ racine carré de x au carré -1) x ( -x + racine carré de (-x)au carré -1)
Je pense qu'il faut continuer avec l'expression conjuguée pour faire disparaître les racines?
= (x + racine carré de x au carré - 1) x ((-x) - racine carré de x au carré -1) / ((-x) - racine carré de x au carré -1)
je bloque parce que je crois que mon expression conjuguée n'est pas bonne..
3) lim qd x --> + infini de x = + infini et lim qd x tend vers + infini de racine carré de x^2 -1= + infini
donc lim qd x tend vers + infini de f(x) = + infini
Pour - infini, n'ayant pas la rep du 2, je pense quand même que ca doit etre - infini mais je sais pas l'expliquer.
4) Lim qd x tend vers + infini de f(x) = + infini
Donc il peut y avoir une asymptote oblique d'équation y=2x à Cf en + infini
Pour cela, il faut vérifier : lim qd x tend vers + infini de (f(x) - (2x))=0
Donc lim qd x tend vers + infini de (f(x) - (2x))= Lim qd x tend vers + infini de f(x) = ... (0) mais je sais pas le prouver.
Donc la droite (d) d'équation y=2x est asymptote oblique à Cf en + infini.
5) Soit d(x)= f(x) - (2x) = x + racine carré de x^2 - 1 - 2x = -x + racine carré de x^2 -1 (Je pense que je peux pas aller plus loin au niveau du calcul et qu'il faut passer au tableau de signe.
La c'est galère parce que je vois pas trop comment expliquer sur le forum un tableau de signe.
je vais essayer : donc j'ai mis que -x est positif sur ]-infini;0[ et négatif sur ]0;+ infini[
pour la racine ( les valeurs qui annulent sont 1 et -1) Racine carré de x^2 - 1 est positif sur ]-infini;-1[ et ] 1; + infini[ et négatif sur ]-1; 1[
d(x) est positif sur ]-infini; -1[ et ]0;1[ et négatif sur ]-1;0[ et ]1; + infini[
Comme on ns demande pour x supérieur à 1, d(x) est inférieur à 0 donc Cf est au dessous de (d).
voilà dites moi ce que vs en pensez.

[lion-bleu]

c'est ca cette fois ]1; +infini[ ?

[Victzz]

Non toujours pas . Pour t'aider trace le graphe de la fonction carré (f(x) = x²) et la droite d'équation y=1 et regarde pour quelle valeur de x ta courbe est dessus de la droite
(x²-1>=0 est équivalent à x²>=1)

[lion-bleu]

cette fois c'est bon normalement lol fin j'espère. d=]-infini; -1[ U ]1;+infini[

[Victzz]

Presque ça l'égalité est large donc tu peux inclure -1 et 1

[lion-bleu]

ok merci enfin! est ce que vous pourriez m'aider pour la suite ou pas?

[Samuel9-14]

Pour la deux, tu as écrit f(x)*f(-x), très bien, maintenant développe le tout !

[lion-bleu]

ça y est j'ai réussi la 2. Merci beaucoup!!

[Victzz]

Pour la 3) la limite en +00 est bonne . Maintenant pour celle en -00 tu dois utiliser l'expression de la question 2) mais il faut l'écrire d'une autre manière

[lion-bleu]

je suis désolée mais je vois pas trop comment faire, où démarrer. je suppose que la limite doit être -1 mais j'arrive pas à voir comment je peux utiliser la 2). Il faut que je trouve la limite de f(-x)?

[lion-bleu]

j'ai essayé aussi de mettre en facteur racine carré de x^2-1 (x-x) mais du coup ca fait 0 je pense pas que ca soit ca.

[Victzz]

On te demande de calculer la limite en -00 de f , donc tu cherches la limite de f(x) quand x tend vers -00. Si tu arrives à isoler ce terme dans ton expression tu devrais trouver . Sinon ta factorisation est fausse (je comprends pas comment tu arrives à ce resultat) . Après on te demande de retrouver les limites avec le calcul direct : pour la limite en +00 tu l'as deja fait , pour celle en -00 il faut factoriser ou alors utiliser la partie conjugué .

[lion-bleu]

pour la limite de f(x) qd x tend vers - infini j'ai 0. f(x) = -1/ (-x) + racine carré de x^2-1 donc lim qd x tend vers - infini de f(x) = -1/-x=0
Pour la factorisation, ça me donne ça : (x+racine carré de x^2-1) x ((-x)+ racine carré de x^2-1)= (racine carré de x^2-1)x(x-x)=0
Mais je pense pas que ca soit ca.

[Victzz]

C'est bon pour la limite en -00 . Attention relis toi tu viens d'écrire que (a-b)*(a+b)=a*(b-b)=0 ...En plus tu as montré à la question 2) que cette égalité valait -1. La factorisation ici est pas forcément évidente surtout si tu n'es pas à l'aise avec les racines ( je te rapelle quand même que racine(a*b) = racine(a)*racine(b) si tu veux essayer) . Le plus simple reste de prendre la partie conjugué . Ensuite la question 4) est immédiate avec les resultats de la 3)

[lion-bleu]

j'ai peut être trouvé la factorisation: (x+racine carré de x^2-1) x ((-x) +racine carré de x^2-1)= x^2-(racine carré de x^2-1)^2= x^2 - x^2-1= -1
Pour la question 4) j'avais commencé à y répondre dans un précédent message, est ce que si je complète la partie en pointillée par "lim qd x tend vers + infini de 1/x= 0 c'est tout juste?

[Victzz]

Non la tu as développer (a-b)(a+b) , tu n'as pas factoriser . On te demande de retrouver la limite avec une méthode direct donc c'est l'expression f(x) qu'il faut factoriser !
Pour la 4) tu peux pas écrire f(x)-2x =1/x ...

[lion-bleu]

pour la 4) c'est toujours faux si j'écris lim qd x tend vers + infini de (f(x) - (2x)) = Lim qd x tend vers + infini de 1/x= 0 ?
je vois effectivement elle est pas evidente la factorisation je veux bien essayer avec la partie conjuguée mais je connais pas trop est ce que c'est ca:
(x+racine carré de x^2-1) x ((-x)+ racine carré de x^2-1) / (-x) + racine carré de x^2-1 = x + x^2-1/ (-x) + racine carré de x^2-1
mais je crois que je pars dans la mauvaise direction.

[Victzz]

Oui c'est faux puisque f(x)-2x ne vaut pas 1/x . Ensuite pour la 3)b) tu es bien parti , mais pourquoi dans le message 25 tu écris bien le numérateur et là tu écris quelque chose de complétement différent ?

[lion-bleu]

pour la 3)b il fallait pas diviser pour l'expression conjuguée?
et pour le 4) je pensais que de mettre lim..ect devant c'était possible. Je vois pas comment l'écrire alors.

[Victzz]

Si si tu etais bien parti pour la 3b) , seulement quand tu développes le numérateur tu trouves x+x^2 -1 et plus haut tu trouves -1 , d'ou le --> peut etre qu'une petit pause te ferait du bien pour pouvoir reprendre tout ça calmement après
Pour la 4) je comprends pas comment tu arrives à 1/x , tu as le droit d'ecrire une egalité de limite que si les deux expressions sont égales ! . Ici tu as juste à calculer f(x) - 2x et après tu cherches la limite (pour la limite avant de te lancer dans des calculs regarde bien les resultats des questions précédentes)