Division Euclidienne dans N

[invitece461fe0]

Salut tout le monde,

j'ai un exercice en maths dont l'énoncé est : n est un entier naturel tels que les restes des divisions euclidiennes de 4294 et 3521 sur n sont 10 et 11.
on nous demande de trouver les valeurs de n.
Donc moi j'ai écrit : (1)....4294=nq+10 => 4284=nq
et (2)......3521= nq'+11 => nq'=3510
avec 11<n<3510 , n est diviseur commun de 3510 et 4284 donc n=18 .

Mais le problème, c'est qu'en voulant trouver une autre méthode de résolution , j'ai additionné (1) et (2) membre à membre ce qui a donné n(q+q')=7794 donc n est diviseur de 7794 ce qui veut dire que n peut prendre les valeurs 18,433,866,1299, et 2598 mais malgré ça , (433,866,1299 et 2598) ne sont pas des solutions.
La deuxième méthode me parait logique mais elle donne de fausses valeurs de n , pouvez m'expliquer ou est le probleme avec cette 2ème methode s'il vous plait?
Merci
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[invite8ab5fa54]

Bonsoir ,
C'est car tu dois faire la différence entre une implication et une équivalence.
Essaie de voir ce qu'il se passe en étudiant la réciproque. Si n(q+q') = 7794 , alors est-ce que on a forcément nq = 4284 et nq' = 3510 ?

[invitece461fe0]

Non pas forcement, donc si j'utilise la deuxième methode de n(q+q')=7794 je dois ajouter les conditions nq=4284 et nq'=3510 pour completer la proposition ? (ce qui fait que la deuxième methode n'est pas utile ).
Merci pour votre réponse

[invite8ab5fa54]

En fait avec la deuxième méthode tu as seulement montré que SI n est solution ALORS n appartient à l'ensemble { 18;433;866;1299;2598 }
Ensuite , tu peux tester ces valeurs une à une pour voir si elles sont solutions afin de finalement déterminer l'ensemble des solutions , ce qui est assez fastidieux.
La méthode 1 est plus directe car il s'agit d'une équivalence : 4284=nq ET nq'=3510 n est diviseur commun de 3510 et 4284.
Ce qui veut dire que la réciproque est aussi vraie , SI n est diviseur commun de 3510 et 4284 ALORS 4284=nq ET nq'=3510.
Donc on détermine directement l'ensemble des solutions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitece461fe0]

Je comprends très bien.
Merci infiniment