La notion de dimension "physique" en mathématiques

[geometrodynamics_of_QFT]

Pour n=4, on a une aire égale à un périmètre.
Cordialement.

Et dans quel(s) cas a-t-on des poires égales à des tranches de pommes ?
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[stefjm]

En mathématique, une aire et un périmètre sont des nombres, à priori comparables.

Un cube de coté pi a un volume égal à la surface de la sphère de rayon pi/2 inscrite dans le cube.

[geometrodynamics_of_QFT]

Cela a-t-il un sens mathématique de parler d'un cube dont la longueur du côté est un nombre sans dimension? Je suis d'accord avec vous sur le fait que si le côté du cube vaut une unité, les valeurs des grandeurs (côté, périmètre, aire, volume, ...) seront égales, mais pas les grandeurs elles-mêmes...

Je ne connais pas non plus encore très bien le degré de rigueur couramment admis sur ce forum, et si je le dépasse, veuillez m'en excuser.

[stefjm]

Je ne sais pas, je ne suis pas un habitué de cette section.
Perso, en mathématique, je n'ai jamais entendu parler de dimension physique. (Mais cela peut m'intéresser.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Pour n=4, on a une aire égale à un périmètre.

Ce qui revient à résoudre
n^2=4.n

Heureusement qu'un carré mathématique n'a pas de dimension physique.

[geometrodynamics_of_QFT]

Vous ne croyez pas si bien dire : cette expression algébrique a aussi un sens, MEME si x a une dimension : les coefficients des termes en x ont, physiquement explicitement, et mathématiquement implicitement, une dimension appropriée, de manière à ce que chaque terme de l'expression aie la même (et la bonne) dimension. Par exemple, : le "cube mathématique" pris de L, a la dimension d'un volume, de façon à ce que son produit avec la densité ait les dimensions d'une masse.

J'avoue qu'il me semble que je m'emballe sur la dimension implicite des coefficients dans une expression purement mathématique.
Ce dont je voulais avoir une vision plus précise, est le sens qu'aurait la notion de côté d'un cube, sans référence à un espace euclidien, qui implique une métrique, donc des dimensions spatiales. Le concept mathématique de cube ne nécessite-t-il pas des considérations géométriques, pour que ses propriétés (angles droit, etc) soient bien définies?
En gros, la notion d'espace euclidien est-elle purement abstraite, ou correspond-elle déjà à un formalisme nécessitant l'introduction de dimensions à ses objets?

[geometrodynamics_of_QFT]

Voilà la question à laquelle je répondais oui, et sur base de laquelle réponse je parlais de poires et de pommes. Mais elle ne me semble pas si triviale que ça...

Mais j'apprécie votre touche d'humour lorsque survint votre idée d'exprimer algébriquement votre problème

n^2=4.n

, j'ai ris intérieurement en imaginant votre satisfaction d'avoir réglé la question avec cet exemple censé être décisif et concluant

[geometrodynamics_of_QFT]

Personne ne cherchait un nombre dont le double est égal au carré ici... si le quadruple est égal au carré alors cela a un sens : c'est la valeur du côté d'un carré pour que la valeur de son périmètre soit égale à la valeur de son aire haha

[Gandhi33]

Je crois que tu t'es tellement écarté du sujet que tu ne sais plus ce que tu dis. Relis le premier message de boulyly

[gg0]

Cela a-t-il un sens mathématique de parler d'un cube dont la longueur du côté est un nombre sans dimension? Je suis d'accord avec vous sur le fait que si le côté du cube vaut une unité, les valeurs des grandeurs (côté, périmètre, aire, volume, ...) seront égales, mais pas les grandeurs elles-mêmes...

Je ne connais pas non plus encore très bien le degré de rigueur couramment admis sur ce forum, et si je le dépasse, veuillez m'en excuser.

Bonjour.

Pour la rigueur mathématique, ce forum utilise tous les niveaux. mais en aucun cas ne mélange avec la physique ou les autres applications des maths.
En toute rigueur, un carré mathématique n'a pas de dimension physique. Tu as voulu faire le rigoureux, tu es passé à côté. Un carré de côté 1 a une aire de 1 (un quoi ? 1, c'est tout)
Par contre, dans la vie courante, en industrie, en physique, un objet (courant, industriel, physique) a un côté de 1 (m, km, année lumière, ...) environ et s'il est de forme approximativement carrée (pas trop grand s'il est sur la surface terrestre), alors son aire est de 1(m², km², année lumière au carré). Mais tout ça est approximatif.

Cordialement.

NB : Inutile de rajouter des haha. Comprendre ce que sont les maths est préférable.

[geometrodynamics_of_QFT]

poser des questions à la manière des philosophes ou des poètes.

c'est en tout cas le lieu pour définir plus précisément dans quel cadre de réflexion se pose cette question, et de manière moins caricaturale Pöur moi, il s'agit de mathématiques pures (partie géométrie, chapitre 1: définitions et concepts)

[geometrodynamics_of_QFT]

Ben non, puisque ici c'est un forum de mathématiques et que la question est clairement non mathématique. A ta question "Cela a-t-il un sens mathématique de parler d'un cube dont la longueur du côté est un nombre sans dimension?" la réponse est oui. Cela clôt un débat inutile.

Pour moi, il s'agit de mathématiques pures (partie géométrie, chapitre 1: définitions et concepts)

En effet, parler d'objets géométriques sans parler d'espace euclidien, cela n'est pas rigoureux.

Mais quand on te donne une réponse, tu te plains que c'est déplaisant. la vérité n'a pas à être agréable.

Je peux très bien concevoir que oui, et c'est ce que j'ai toujours inconsciemment pensé. Mais la réflexion que je soulevais me faisais hésiter et je n'ai toujours pas la réponse à cette question...

[geometrodynamics_of_QFT]

Par ailleurs, en géométrie euclidienne,

le segment est placé dans un espace euclidien E — ce peut être notamment un plan ou l'espace à trois dimensions muni de la distance familière entre points.

[Nicophil]

Bonjour,

1) Il est bien question de dimension en géométrie.
2) La RG est une théorie géométrique de la gravitation.

[Médiat]

Bonjour,

Ce fil est créé afin de discuter d'un hors sujet apparu dans un autre fil, et donc de préserver le sujet initial.

Le sujet n'est pas inintéressant, mais si l'atmosphère devait rester "désagréable", il serait irrémédiablement fermé.

Du ménage a été fait !

Médiat, pour la modération

[geometrodynamics_of_QFT]

Je remercie Nicophil et Médiat d'avoir suivi le détail précis auquel je faisais allusion et qui posait problème, car j'en arrivais à hésiter du bien fondé de cette réflexion à force d'être "contre tout le monde" : Cela me "soulage" (et me rassure) de voir que la question n'est pas triviale.

si la notion de "dimension" est inhérente en géométrie, alors la formule que j'avais employée "les coefficient d'une expression mathématique ont "implicitement" la bonne dimension", n'est pas si farfelue...
Je devrais pouvoir me souvenir de cas purement mathématiques où une sorte "d'analyse dimensionnelle" permettait de déduire le degré de certains termes (par exemple, dans cette forme quadratique, on voit que chaque terme est en ""mètres carrés"" (façon de parler) : Ax² + Bxy+Cy²+D...

Ma formule "forte" veut juste dire que les A, B, C, D ont, "implicitement" donc (mais le mot ne me parait pas approprié), l'encodage du "degré du facteur (x et/ou y) auquel ils sont associé dans le terme"....

De manière à ce que si cette forme quadratique aie une interprétation géométrique, elle puisse se représenter dans un espace euclidien...
En physiquie cette question ne se post pas, et les coefficients ont TOUJOURS la bonne dimension de manière à ce que les termes aient la même dimension.

[stefjm]

Voilà la question à laquelle je répondais oui, et sur base de laquelle réponse je parlais de poires et de pommes. Mais elle ne me semble pas si triviale que ça...

Ce n'est pas trivial du tout et même plutôt intéressant.

Mais j'apprécie votre touche d'humour lorsque survint votre idée d'exprimer algébriquement votre problème , j'ai ris intérieurement en imaginant votre satisfaction d'avoir réglé la question avec cet exemple censé être décisif et concluant

Je ne règle jamais définitivement les questions. Je les résoud dans un cadre donné.
Vu que j'avais déjà réfléchi à cette question, j'ai une petite avance.

Il y a en mathématique le théorème de Stocks ou de Green-Riemann qui identifie une "aire" (intégrale double sur la surface) à la "longueur" qui l'entoure (intégrale simple le long du contour).

@Médiat : Merci pour la séparation de discussion.

Edit : Croisement geometrodynamics_of_QFT

@ tous, si vous avez des idées sur comment rendre compatible les mathématiques avec la notion de dimension physique, je suis intéressé par les pistes éventuelles.

Cordialement.

[gg0]

@ tous, si vous avez des idées sur comment rendre compatible les mathématiques avec la notion de dimension physique, je suis intéressé par les pistes éventuelles.

Mais il n'y a pas incompatibilité, les physiciens calculent avec des équations aux dimensions, et c'est même un excellent outil de découverte ou de preuve. Les mathématiciens utilisent l'algèbre linéaire pour traiter de variables indépendantes, les physiciens aussi.
Ce qui serait faux, c'est de refuser qu'un produit de deux nombres de même genre puisse être du même genre sous prétexte que ce n'est pas le cas quand ce sont des nombres mesurés physiquement. Les maths n'ont que faire des limitations des disciplines qui les utilisent. On ne refuse pas les négatifs sous prétexte que les longueurs sont toujours positives.

Cordialement.

[geometrodynamics_of_QFT]

On ne refuse pas les négatifs sous prétexte que les longueurs sont toujours positives.
Cordialement.

Toutes les définitions possible de produit scalaire, jusqu'aux sens les plus abstraits de la théorie des groupes, sont (il me semble), définis tels que le produit scalaire d'un élément avec lui-même soit positif ou nul? (càd sa norme)
Alors qu'on ne parle même pas encore de géométrie...

[geometrodynamics_of_QFT]

Il y a en mathématique le théorème de Stocks ou de Green-Riemann qui identifie une "aire" (intégrale double sur la surface) à la "longueur" qui l'entoure (intégrale simple le long du contour).

il s'agit du théorème de Stokes, théorème de Green, de Kelvin-Stokes, etc..qui sont des théorèmes standard de transformations d'intégrales multiples en analyse vectorielle.

toutes ces notions mathématiques (courbe, surface curviligne, vecteurs, ...) sont définies dans un cadre, qui comprend l'établissement d'un espace euclidien associé à un espace vectoriel.

Un espace vectoriel sans espace euclidien permet juste de faire de l'algèbre linéaire (théorie des groupes, avec leurs opérations)
si on le munit d'un espace euclidien, on défini pour les éléments du groupe, la notion de norme..., d'angle, etc...

ces notions, pour continuer la discussion, ont des grandeurs implicites ou non.
Je viens de penser aux angles : on les défini en degrés ou en radians, n'est-ce pas là une unité dimensionnelle?

pour un segment, on a aussi des unités : au lieu de prendre le rapporteur, on prend la latte.

alors bien sûr qu'on peut définir à sa propre volonté à quelle distance correspond l'unité qu'on choisit (et elle peut même varier pour chaque problème qu'on considère)

un carré de côté 1, (sans sous-entendre 1 unité de distance), c'est comme dire "un angle de 30" (sans dire explicitement degré)...

qu'en dites-vous ggo?

[geometrodynamics_of_QFT]

par exemple, si je vous dit :

Trouvez à quoi correspond géométriquement l'expression x³ = 8. (dans la même optique qu'on demanderait "à quoi correspond l'expression x²+y²=1)
vous avez le champ libre de penser à tout ce que vous voulez, pour trouver une expression géométrique à cette expression algébrique.

J'ai l'impression qu'on ne pourrait aboutir (vu les axiomes de la géométrie euclidienne) qu'à des interprétations forçant la dimension des termes à être en m³, de sorte que 8 soit implicitement en m³ et, x en mètres.

Si l'étape de l'interprétation des termes ne soit pas se faire (s'ils ne font pas références à des éléments géométriques dans le problème), alors la question ne se pose pas.

[gg0]

[envoyé par gg0 : On ne refuse pas les négatifs sous prétexte que les longueurs sont toujours positives.
Cordialement.]
Toutes les définitions possible de produit scalaire, jusqu'aux sens les plus abstraits de la théorie des groupes, sont (il me semble), définis tels que le produit scalaire d'un élément avec lui-même soit positif ou nul? (càd sa norme)
Alors qu'on ne parle même pas encore de géométrie...

Oui, et alors ?

Je ne comprends pas ce que tu veux : Tu amènes des arguments sans rapport avec la citation. Dois-je en conclure que tu lis dans cette phrase autre chose que ce qu'elle dit ?
En plus, le produit scalaire d'un vecteur par son opposé est carrément négatif, donc je ne vois vraiment pas.

On dirait que tu veux que les mathématiciens ne traitent que de ce qui est utilisé par certains physiciens. Ce n'est pas leur problème. Les géomètres de l'antiquité n'ont pas attendu d'avoir une utilisation des coniques pour les étudier. Tant mieux pour Kepler. Et 99% des maths actuelles n'ont aucune utilisation ailleurs.

Tu travailles dans un monde de grandeurs, les maths te donnent des outils utiles, remercie-les, mais ne fais pas de ton cas une généralité.

Cordialement.

[gg0]

Trouvez à quoi correspond géométriquement l'expression x³ = 8

Ben ! Tout le monde le sait : la recherche de l'abscisse x du point de la cubique d'équation y= x³ d'ordonnée 8. Et ici, 2 et 2 sont des nombres compatibles, des longueurs dans la représentation graphique dans un repère orthonormé.
Ce n'est pas nouveau, Descartes a déjà étudié cela.

Cordialement.

NB : Pourquoi toujours ramener à "géométriquement" ? Les maths appliquées ne sont pas que de la géométrie. Vois l'informatique, par exemple. Ou les techniques de la fiabilité.

[ansset]

comprend pas non plus cette notion de dimension en maths.
si j'ecris l'équation du cercle (x-1)²+y²=1 , j'ai un cercle de rayon 1 et de centre (1,0)
cette équation fait intervenir la somme de deux "longueurs" au carré, si on cause "géométrie".
mais je peux l'écrire x²-2x+y²=0,soit 2x=x²+y² ou il y un terme en x ( qui n'est pas un carré ).

[PlaneteF]

comprend pas non plus cette notion de dimension en maths.
si j'ecris l'équation du cercle (x-1)²+y²=1 , j'ai un cercle de rayon 1 et de centre (1,0)
cette équation fait intervenir la somme de deux "longueurs" au carré, si on cause "géométrie".
mais je peux l'écrire x²-2x+y²=0,soit 2x=x²+y² ou il y un terme en x ( qui n'est pas un carré ).

Bonjour ansset,

et sont des scalaires donc je ne vois pas où est le sujet () ?

Maintenant la non-homogénéité que tu relèves n'est qu'apparente, en fait , c'est . Tu peux de surcroît y coller les unites que tu veux. C'est la même chose quand tu écrit qui est tout aussi homogène que


Cordialement

[ansset]

on s'est mal compris.
justement, je n'ai pas parlé d'homogénéité ni de non-homogénéité, ma réponse était en prolongement du post#21, qui me semblait sous entendre une homogénéité naturelle dans l'écriture mathématique, du même ordre que celle que l'on se doit d'avoir dans une équation physique, ou on évite d'écrire par exemple :
F(force) =M(masse ) en supposant implicitement M*1 ( le 1 étant en m/s²).

[PlaneteF]

on s'est mal compris.

... et je crois même que ça continue ... je ne vois pas où il reste à un sujet ... il me semble que gg0 a répondu à l'ensemble des points y compris celui du message#21 ?!

Cdt

[ansset]

bien sur, mon message était, je pense, dans la continuité. c'est tout.
juste pour appuyer ( avec mes mots ) une réponse au titre du fil.
bonne journée à toi.

[invite02232301]

il s'agit du théorème de Stokes, théorème de Green, de Kelvin-Stokes, etc..qui sont des théorèmes standard de transformations d'intégrales multiples en analyse vectorielle.

toutes ces notions mathématiques (courbe, surface curviligne, vecteurs, ...) sont définies dans un cadre, qui comprend l'établissement d'un espace euclidien associé à un espace vectoriel.

Non, il n'y a pas besoin d'espace euclidien ou meme d'espace vectoriel sous jacent pour definir les notions de volumes, ou pour le theoreme de Stokes. Il y a simplement besoin d'une variété lisse orientée, on peut meme le definir dans des cadres encore plus pauvres.