Bonjour,
J'ai pour la rentrée un DM de spé maths à faire (oui c'est le premier jour des vacances et je m'y mets, motivation).
Voilà l'énoncé:
Le 14 juillet 2012 (noté J), Philomène a observé un corps céleste A, qui apparait en ce lieu tous les 105 jours (durée d'une révolution).
Six jours plus tard, le 20 juillet, elle observe un second corps céleste B dont la durée d'une révolution est 81 jours.
Philomène se pose alors la question suivante: Est-il possible de trouver le jour J1 de la prochaine apparition simultanée de ces deux astres ?
1) Une équation diophantienne. Admettons que ce jour J1 existe. Entre le 14 juillet 2012 et J1, A aura effectué u révolutions et B aura effectué v révolutions.
a) Expliquez pourquoi 105u-81v=6 ou 35u-27v=2. (équation (1))
Ma réponse: Le corps A apparait tous les 105 jours, donc J1= J+105u <=> J1-J= 105u.
Le corps B apparait tous les 81 jours, donc J1=J+6+81v <=> J1-J=6+81v
On a donc: J1-J= 105u=6+81 d'où 105u=6+81v <=> 105u-81v=6.
En divisant par 3, on obtient bien 35u-27v=2.
2) Une première solution.
a) Pourquoi 8u≡2 modulo 27 ?
Je ne sais pas comment justifier cela, pourriez-vous m'éclairer ?
Quelle est alors la plus petite valeur u0 de u vérifiant cette congruence ?
Ma réponse: u0=7.
b) En déduire la valeur v0 correspondante.
v0 = 9.
3) Ecriture de toutes les solutions.
a) Vérifiez que l'équation (1) est équivalente à 35(u-7)=27(v-9).
Ma réponse: 35(u-7)=27(v-9) <=> 35u-245=27v-243 <=> 35u-27v=2. On a bien vérifié l'équivalence.
Avant de continuer l'exercice, j'aimerais répondre à la question 2)a) et savoir si les réponses que j'ai déjà apportées sont justes.
Merci beaucoup d'avance
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