Arithmétique et astronomie, besoin d'aide

[emilie1S]

Bonjour,
J'ai pour la rentrée un DM de spé maths à faire (oui c'est le premier jour des vacances et je m'y mets, motivation).
Voilà l'énoncé:

Le 14 juillet 2012 (noté J), Philomène a observé un corps céleste A, qui apparait en ce lieu tous les 105 jours (durée d'une révolution).
Six jours plus tard, le 20 juillet, elle observe un second corps céleste B dont la durée d'une révolution est 81 jours.
Philomène se pose alors la question suivante: Est-il possible de trouver le jour J1 de la prochaine apparition simultanée de ces deux astres ?

1) Une équation diophantienne. Admettons que ce jour J1 existe. Entre le 14 juillet 2012 et J1, A aura effectué u révolutions et B aura effectué v révolutions.
a) Expliquez pourquoi 105u-81v=6 ou 35u-27v=2. (équation (1))
Ma réponse: Le corps A apparait tous les 105 jours, donc J1= J+105u <=> J1-J= 105u.
Le corps B apparait tous les 81 jours, donc J1=J+6+81v <=> J1-J=6+81v
On a donc: J1-J= 105u=6+81 d'où 105u=6+81v <=> 105u-81v=6.
En divisant par 3, on obtient bien 35u-27v=2.

2) Une première solution.
a) Pourquoi 8u≡2 modulo 27 ?
Je ne sais pas comment justifier cela, pourriez-vous m'éclairer ?
Quelle est alors la plus petite valeur u0 de u vérifiant cette congruence ?
Ma réponse: u0=7.

b) En déduire la valeur v0 correspondante.
v0 = 9.

3) Ecriture de toutes les solutions.
a) Vérifiez que l'équation (1) est équivalente à 35(u-7)=27(v-9).
Ma réponse: 35(u-7)=27(v-9) <=> 35u-245=27v-243 <=> 35u-27v=2. On a bien vérifié l'équivalence.

Avant de continuer l'exercice, j'aimerais répondre à la question 2)a) et savoir si les réponses que j'ai déjà apportées sont justes.
Merci beaucoup d'avance
-----

[Noct]

Bonjour ,

a) Pourquoi 8u≡2 modulo 27 ?
Je ne sais pas comment justifier cela, pourriez-vous m'éclairer ?

Il suffit de prouver que 8u - 2 est divisible par 27 , c'est à dire établir une égalité de la forme 8u - 2 = 27k , avec k entier , à partir de l'équation (1).

[emilie1S]

J'ai fait:
35u-27v=2
35u=27v+2
35u≡2 [27]
8u+27u≡2 [27]
or 27 est divisible par 27, donc 8u≡2[27]

est-ce bon ?

[Noct]

Oui c'est juste , pourquoi as-tu dit que tu ne savais pas le faire alors que tu sais ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[emilie1S]

Je ne pensais pas qu'il fallait partir de l'égalité...

Je bloque maintenant sur la fin de l'exercice:

3)b) A l'aide du théorème de Gauss, dites pourquoi 27 divise (u-7).
J'ai calculé le PGCD de 35 et 27, j'ai trouvé 1 donc ils sont premiers entre eux, donc 27 divise (u-7).
En déduire que u=27k+7 et v=35k+9.

c) Déterminez maintenant la date J1 (tenir compte des années bissextiles)
d) Imaginons que Philomène rate ce premier rendez-vous, quelle sera la prochaine date J2 de l'apparition simultanée des deux corps célestes ?

Je suis désolée de poser toutes ces questions, qui après aide, me paraissent simples...

[Noct]

Quelles questions te bloquent ?
Si ces questions te paraissent simples , tu as surement réussi à les faire.

[emilie1S]

Les questions 3)b)c)d) me bloquent.
Je ne vois pas comment raisonner...

[gg0]

"donc 27 divise (u-7)." traduis ! Par exemple en appelant k le quotient ...

[emilie1S]

Merci, j'ai réussi...

Pour la question suivante, je dois déterminer la date J1 pour laquelle on voit les deux corps en même temps.
Donc je dois trouver le nombre de jours qui s'écoulent depuis le 14 juillet, au bout desquels on peut observer les deux corps. Je dois donc faire en sorte que 35u-27v=0, mais je ne parviens pas à résoudre cette équation, je trouve toujours 2, or il faudrait que le résultat soit 0 puisque cela représente le nombre de jours qui séparent l'apparition des deux corps ?

[Noct]

On a bien 35u-27v = 2 , c'est ton équation (1). Donc ça ne peut pas être égal à 0.
Il faut faire les choses clairement et revenir à l'énoncé

Admettons que ce jour J1 existe. Entre le 14 juillet 2012 et J1, A aura effectué u révolutions et B aura effectué v révolutions.

Tu as ensuite montré que de tels u et v vérifiaient l'équation (1). Tu dois donc trouver les plus petits u et v vérifiant l'équation (1) , afin de déterminer J1... , ce que tu as déjà fait dans la question 2) , et que tu peux vérifier en utilisant l'écriture de toutes les solutions que tu as établi dans la question 3)b)

[emilie1S]

Donc les plus petites valeurs sont u=7 et v=9.
35*7-27*9=2
Mais je ne comprends pas comment on peut connaitre J1 sachant que l'égalité vaut 2...

[Noct]

Je ne vois pas le rapport avec le fait que "l'égalité vaut 2" . Entre le jour J et le jour J1 , le corps A a effectué 7 révolutions . Et comme tu connais la durée de révolution du corps A , tu connais la durée entre le jour J et le jour J1.

[emilie1S]

Ah je pense avoir compris.
Puisque à la base, les deux corps sont observés en décalé:
A partir du 14 juillet, on calcule 35*7=245.
Sauf qu'on compte à partir du 20 juillet pour le 2e corps, donc il faut ajouter 2: 27*9+2=245.

Donc les deux corps sont observables en même temps 245 jours après le 14 juillet. 2012 était une année bissextile (366 jours), donc le 14 juillet était le 196e jour de l'année. 196+245=441. Les deux corps sont donc visibles le 75e jour de l'année 2013, c'est-à-dire le 16 mars 2013.
Est-ce juste ?

[Noct]

A partir du 14 juillet, on calcule 35*7=245.

Non , la durée de révolution de l'astre A est de 105 jours et pas 35. Il ne faut pas tout confondre. Le 35 vient juste du fait que l'on a simplifié l'équation.

[emilie1S]

Il me semblait bien que quelque chose était louche...
Donc les deux astres apparaissent 735 jours après le 14 juillet. Donc ils seront visibles le 19 juillet 2014.

[emilie1S]

Et pour la dernière question: si Philomène rate la date J1, la prochaine date J2 possible sera le 23 avril 2022.

Juste ?

[Noct]

Personnellement , je n'ai pas calculé , mais ça doit être ça.
Quelle est la méthode que tu as employé ? Puis je pourrais te dire si c'est juste ou pas.

[emilie1S]

Pour J2, j'ai additionné les 165 jours de l'année 2012 à (365*5)+(366*2)+(31+28+31+23) pour obtenir 2835 jours, en tenant compte des années bissextiles et non bissextiles, et j'en ai déduit le jour

[Noct]

Tu additionnes 2835 jours à partir du jour J ou du jour J1 ?

[emilie1S]

A partir de J1

[Noct]

Oui , alors c'est juste. 27 révolutions de l'astre A entre J1 et J2 , ce qui correspond bien à 2835 jours.

[emilie1S]

Merci beaucoup pour votre aide et votre patience.
Bonne soirée et bonnes fêtes !