Etude et propriétés de famille de fonction.

[martoufleouf]

Bonjour,
J'ai une question d'un exercice qui me pose quelques petit soucis. Dans mon énoncé on me donne la fonction Fa(x)=ln(e(x)+ax)-x
On me demande de prouver que fa(x) peut s'écrire sous la forme fa(x)=ln(1+a(x/e(x))) ce que j'ai réussi à faire.
Puis on me demande de : Montrer que pour tout réel x tel que x>=0, on a fa(x)<=a/e(1) avec a strictement positif.
Ici je tente de poser x supérieur ou égal à 0 puis d'arriver à fa(x) mais je n'arrive pas du tout à démontrer cela. J'ai ensuite essayé de poser e(x) supérieur à 0 ça ne marche pas non plus. Pouvez vous m'indiquer comment commencer s'il vous plait parce que je suis en manque d'inspiration.
Cordialement
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[Médiat]

Bonjour,

Vous avez essayé la dérivée ?

[martoufleouf]

Vous voulez dire faire le tableau de variation grâce à la dérivée et en déduire de ce dernier ? Non je n'ai pas essayé mais je m'y met de suite
Merci bien

[Dizord]

Yep, avec le TdV, normalement tu dois en déduire un maximum atteint en 1. Après il te suffit de calculer , chez moi ça a pas était très probant, je retombe jamais sur . Mais peut-être que je loupe un truc.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

N'y aurait-il pas une hypothèse oubliée : a est positif. Et pour x ? "je tente de poser x supérieur ou égal à 0" Est-ce une des hypothèses ?
A quel niveau est posé cet exercice ? Car si on sait comparer ln(1+x) et x, c'est assez simple.

Cordialement.

[martoufleouf]

Re
J'ai fait le TV et je trouve que fa(x)<= ln(1+(a/e)) mais après je ne sais pas comparer ln(1+x) avec x comme le dis gg0, alors j'a fait au plus simpliste, j'ai mis :
"D’après TV, on a : fa(x)<=fa(1) soit fa(x)<=ln(1+(a/e))
Or on sait que 1+(a/e)>a/e
Donc ln(1+(a/e)>=ln(a/e) car la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur [0;+oo[
Et la j'ai donné un petit coup de baguette magique en faisant : ln(1+(a/e))<=e(ln(a/e)) car x>=ln(x) sur [o;+oo[
-> fa(x)<=ln(1+(a/e))<=a/e
Je ne pense pas que comme cela qu'il fallait le prouver mais bon ... c'est le seul moyen que j'ai trouvé après si d'autre idée vous viennes je suis tout ouïe.
Merci bien

[gg0]

Pour la comparaison entre ln(1+x) et x, on peut étudier la fonction x-->x-ln(1+x), ce qui donne son signe.

Ton coup de baguette magique est une tricherie ! Tu as ln(1+(a/e)>=ln(a/e) et ln(a/e) <= a/e donc deux inégalités qui ne servent à rien. Sans parler de ton " ln(1+(a/e))<=e(ln(a/e))" dont on ne voit pas d'où il sort.
Donc non seulement tu n'as pas trouvé de preuve, mais tu fais semblant en écrivant n'importe quoi. la plupart des profs, quand ils rencontrent ce genre de malhonnêteté sacquent l'élève, cette fois et systématiquement ensuite : Comment avoir confiance ? Évite de jouer à ce jeu dangereux.

[martoufleouf]

Merci bien de m'avoir prévenu et a bientot peut etre