Bonjour,
Voici les données de l'énoncé :
(u(n)) est définie par son premier terme u(0)=2 et par la relation: u(n+1) = -(1/2) * u(n)² + 3 * u(n) - 3/2
Dans la partie A, on calcule les valeurs de u(1) à u(4) et on conjecture le sens de variation et la convergence de la suite (u(n)). Ici pas de problème, (u(n)) semble converger vers 3 et être croissante.
Partie B :
On considère la suite (v(n)) définie pour tout entier naturel n par : v(n) = u(n)-3
1.Montrer que, pour tout entier naturel n, v(n+1) = -1/2 * v(n)²
Ceci j'ai réussi.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, -1 <= v(n) <= 0
Ici je bloque.
D'après la question 1., on sait que v(n+1) est négatif ou nul.
Soit (P(n)) la proposition : "Pour tout entier naturel n, -1 <= v(n) <= 0"
Initialisation : v(0) = u(0) - 3 = 2 - 3 = -1 donc P(0) est vraie
Hérédité: Supposons P(n) vraie et montrons que cela entraîne P(n+1) vraie.
-1 <= v(n) <= 0
Généralement pour la récurrence, une tactique consiste à recréer l'expression de v(n+1) à partir de celle de v(n).
Je cherche donc à créer -1/2 * v(n)² à partir de v(n)
Ma question est la suivante : peut-on appliquer la fonction carrée à l'inéquation si on ne sait pas le signe de v(n). En -1 la fonction carrée est décroissante, si v(n) était inférieur à 0, on devrait changer le sens du symbole de l'inéquation. Mais ne sachant pas le signe de v(n)...
Merci d'avance de m'éclairer sur ce point ou de me rediriger si je ne cherche pas du bon côté
Bonne journée
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Envoyé par Godeaut 
