Expression d'une somme comme une intégrale

[maxym]

Bonjour,
Dans un livre de physique, j'ai rencontré à deux reprises la chose suivante: une somme infinie était exprimée comme une intégrale.

Dans le premier cas, le livre définit le centre de masse d'un système de particule comme la somme
M étant la masse du système et mi la masse de la ième particule.

Or, si le système est constitué d'un nombre immense de particules, le livre affirme que l'on peut exprimer cette somme comme une intégrale: (on extrait 1/M avant d'exprimer la somme comme une intégrale)
Au début, cette manipulation m'a laissé très confus. Puis, j'ai pensé à la chose suivante:
Si l'on trace le graphique mi en fonction de xi, on obtient une fonction f(xi)=mi. Dans ce cas, la somme ci-dessus correspond effectivement à l'aire sous la courbe et calculer l'intégrale de cette fonction me parait alors en effet légitime.
Est-ce que ce raisonnement explique-t-il le passage d'une somme infinie à une intégrale?


Dans un second cas, le livre définit le moment d'inertie comme la somme.

De même, le livre exprime cette somme infinie comme une intégrale:

Or, ici, je ne comprend pas du tout pourquoi l'équivalence est juste. En effet, il n'existe pas forcément de fonction f(mi)=ri2. En effet, si l'on tracait le graphique, on pourrait avoir plusieurs valeurs sur l'axe des ordonnées pour une même abscisse (des particules de même masse peuvent être séparée de l'axe de rotation par une même distance).
Pourquoi peut-on alors exprimer cette somme infinie comme une intégrale?

Note: peut-être que les exemples donnés sont superflus et que la question "pourquoi une somme infinie peut-elle être exprimée comme une intégrale" peut être répondue sans s'en préoccuper. Ainsi, j'espère que vous pourrez m'aider à résoudre mon problème même si les concepts de physique vous sont inconnus.

Note 2: je suis en Terminale S

Merci infiniment! J'ai fouillé le web pour une réponse sans succès et ce problème commence à me rendre fou
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[gg0]

La présentation de ton livre de physique t'a perturbé, et pour cause. Ce n'est qu’approximativement, qu’une somme est égale à une intégrale.

Prenons un cas simple : On a une chaîne composée de maillons. leur taille varie régulièrement, mais on obtient la masse totale de la chaîne en faisant la somme des masses des maillons.
Passons à un fil de masse linéique (*) variable ml(x). Pour trouver sa masse, ton livre de physique te propose de la considérer comme une chaîne de maillons infiniment petits (j'inverse le raisonnement, mais c'est le même). Ça n'explique en rien l'intégrale, tu as raison.
Procédons autrement : on appelle x la longueur à un point de la chaîne comptée à partir d'un bout, et f(x) la masse de cette portion de la chaîne. Quand x=0, f(x)=0. La masse totale est M=f(L) où L est la longueur de la chaîne. Regardons maintenant comment est calculée la masse linéique : La masse pour une longueur l à partir du point correspondant à x est f(x+l)-f(x) (masse jusqu'à x+l moins la masse jusqu'à l) donc la masse moyenne sur cette portion est . On obtient la masse par unité de longueur en passant à la limite quand l tend vers 0 (**). On reconnaît la formule de définition de la dérivée de f. La masse par unité de longueur est donc ml(x)=f'(x) et f est une primitive de ml. Comme f(0)=0, on sait que et la masse totale est .
Voilà comment les intégrales interviennent vraiment. En fait, dans tout calcul où interviennent des intégrales, il y a des dérivées, donc on peut s'y ramener.

Mais on peut se contenter d'idées très approximatives sur des quantités "infiniment petites" qu'on additionne avec des intégrales. Ça marche souvent très efficacement, et c'est parfois présenté par des non matheux comme des démonstrations. Ce sont juste des explications pratiques.

Cordialement.

(*) masse par unité de longueur.

(*) masse par unité de longueur.
(**) comme la vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne.