DM Logarithme néperien

[Antoi]

Bonsoir,

Cela fait déjà plusieurs jours que je bloque sur une question de mon dm.... Voilà l'énoncé :

1) Déterminer l'équation réduite de la tangente T à la courbe C représentant la fonction ln au repère du plan, au point d'abscisse 1.

J'ai donc fait y:T=f'(1)(x-1)+f(1) avec f(x)=ln(x)
Je trouve T= x-1

2) Déterminer la position relative de T et C.

J'ai donc fait f(x)-T = ln(x)-x+1 Ensuite je pose g(x)=f(x)-T.

J'obtiens g'(x)=(1/x)-1 et je fais le tableau de signe de g'(x) puis celui de variations de g(x)
J'ai g(x)<0 pour x appartient à ]0;+infini[

Donc la tangente est toujours au dessus de C. ( sauf en 1 où elles sont confondues )

Voilà la question où je bloque : 3) Soit n appartient à N quel est le plus grand nombre entre (n+1)^n et n^n+1 , on pourra utiliser la question précédente.

J'ai beau chercher je n'ai pas réussi à trouver la réponse je sollicite donc votre aide s'il vous plait !
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[gg0]

Bonsoir.

Dans les questions précédentes, on utilise des logarithmes. Tu n'as pas essayé ? Si deux nombres sont dans un certain ordre, comment sont leurs logarithmes ?

Cordialement.

[Antoi]

Si a > b alors ln(a)>ln(b) ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Si a > b alors ln(a)>ln(b) ?

La fonction étant strictement croissante, la réponse est "oui".


N.B : bien évidemment (et donc ) l'est aussi.


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Antoi]

J'ai bien essayé de manipuler nln(n+1) et (n+1)ln(n) mais je n'arrives pas à trouver un résultat ....

[gg0]

Effectivement, ce n'est pas immédiat.

Déjà, on peut faire la différence entre ces deux nombres : n.ln(n+1)-nln(n)-ln(n), factoriser le n et réduire la différence de ln à un seul ln. Le ln d'une expression proche de 1, qu'on peut appeler x. Et on a vu que ln(x)<x si x n'est pas nul (c'est le cas).

Si tu as regardé les premières valeurs de n, tu as vu que l'ordre entre ces deux nombres change entre 2 et 3. On le retrouve aussi ainsi.

Bon travail !

[PlaneteF]

Je trouve T= x-1

Attention à cette écriture qui n'est pas correcte. Ecrire à la place par exemple :

Cdt

[Antoi]

Attention à cette écriture qui n'est pas correcte. Ecrire à la place par exemple :

Cdt

D'accord je ferais attention à l'avenir ! Merci


en factorisant n.ln(n+1)-n.ln(n)-ln(n)
n.ln((n+1)/n)- ln(n)
ln(((n+1)/n)^n) - ln(n)
ln( ((n+1)^n)/n^n+1) et je retombe sur le même problème, j'ai l'impression de tourner en boucle. Je dois surement mal m'y prendre et la solution doit surement être évidente mais je ne trouve pas comment réduire à une expression de ln proche de 1 :/

[gg0]

Quel est l'intérêt de faire réapparaître des puissances ? Pourquoi veux-tu tourner en rond ?

n.ln(n+1)-n.ln(n)-ln(n) = n.ln((n+1)/n)- ln(n)
Tu ne vois pas, dans le ln, une quantité proche de 1 (d'autant plus que n est grand). On peut d'ailleurs l'écrire 1+...
Et je t'ai proposé une méthode.

mais ntu préfères calculer, calculer, calculer ... Tant pis pour toi !