TS Probabilités

[invite3c76b714]

Bonsoir, voilà l'énoncé qui me pose problème (BAC MÉTROPOLE 2010) :
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à : ...
Je sais qu'on peut faire une loi binomiale pour y répondre. Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi avec le calcul : (7².3³) / (10⁵) ça ne marche pas. Pourtant, ce que j'ai écrit c'est bien le nombre d'issues qui sont valables sur le nombre total d'issues...
Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

7².3³ est par exemple le nombre de fois où on peut tirer d'abord deux boules blanches, ensuite 3 noires (ou d'autres tirages du même genre). Donc tu n'as pas compté le nombre total d'issues.

Cordialement.

[invite3c76b714]

Pourquoi? Le nombre de combinaisons ou je tires 3 noires et 2 blanches, c'est bien le nombre d'issues favorables, non? Et 10^5 le nombre total d'issues ?

[gg0]

10^5, ce ne sont pas des combinaisons ! Ce sont des suites de tirages d'une boule parmi 10. Dans l'ordre.

Tu n'as d'autre part pas compté le nombre de suites qui comportent 2 blanches et 3 noires, dans n'importe quel ordre :
premier tirage : soit une blanche (7 façons) soit une noire (3 façons); deuxième tirage soit une blanche (7 façons) soit une noire (3 façons); déjà, pour les premiers tirages tu as 100 cas possibles, puisque tous sont permis (tu devines peut-être que je suis en train de faire un arbre des possibilités); au troisième tirage, ça se complique, car si on a tiré 2 blanches (donc dans 49 des 100 cas), on ne peut plus tirer qu'une noire (3 possibilités) ce qui fait 3*49 cas où on a tiré deux blanches; et encore 3 fois plus pour la quatrième boule et encore 3 fois plus pour la cinquième boule : au total 27*48 cas; et il reste les 51 autres cas à examiner pour la troisième boule.

Cette façon de faire est pénible, il y a un raccourci : Tous les tirages avec 2 blanches et trois noires, quel que soit leur ordre (que ce soit bbnnn, bnbnn, nnbnb,...) donnent le même nombre de cas : 3 pour une noire, 7 pour une blanche, soit 3³.7². Donc pour avoir le nombre total de suites, il suffit de compter le nombre de façons d'ordonner 2 b et 3 n sur 5 places. Si on choisit les places des b, les n iront partout ailleurs. Donc il suffit de trouver de combien de façon on peut choisir deux places parmi les places de 1 à 5; sans ordre, puisque placer n aux place 2 et 5 ou 5 et 2 donne le même résultat. Donc c'est le nombre de combinaisons de 2 parmi 5 : finalement on trouve suites. En divisant par 10⁵ on retrouve le résultat de la loi binomiale.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c76b714]

Ok merci beaucoup, j'ai compris.