Valeur exacte d'un sinus

[invite1eeda15f]

Bonjour,

On me donne cos 9pi/5 = (racinede5 + 1)/4
On me demande calculer la valeur exacte de sin 9pi/5, je trouve donc racine de 10+2racinede5 le tout sur 16.
Mais la correction donne ce résultat avec un moins, je ne comprends pas pourquoi
-----

[PlaneteF]

Bonjour,

Mais la correction donne ce résultat avec un moins, je ne comprends pas pourquoi

Qu'est-ce qui t'étonnes là-dedans ?! ... On a bien évidemment

Cordialement

[invite1eeda15f]

Ben avec le calcul, on trouve un résultat positif mais mon professeur a dit de rajouter un moins, pourquoi ?

[CARAC8B10]

car

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Bonjour,

Ben avec le calcul, on trouve un résultat positif mais mon professeur a dit de rajouter un moins, pourquoi ?

Le calcul utilise cos² + sin² = 1 , donc il élimine le signe et c'est à vous de le rétablir.

[Rizmoth]

Le calcul utilise cos2 + sin2 = 1 , donc il élimine le signe et c'est à vous de le rétablir.

Plus précisément, c'est un problème de raisonnement logique : des éléments de logique se cachent derrière toute ligne de calcul, et on a parfois tendance à l'oublier ^^

Dans le calcul, lorsque l'on écrit cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1, c'est équivalent à écrire sin(x)^2 = 1 - cos(x)^2
L'équivalence, c'est une double implication :
Si a + b = 1, alors a = 1 - b
Réciproquement, si a = 1 - b, alors a + b = 1
Les deux affirmations sont simultanément vraies. En français on dira souvent "a + b = 1 si et seulement si a = 1 - b"

C'est cette vérité logique qui permet de commencer innocemment à dérouler le calcul, ligne par ligne (en oubliant, par abus, le moindre signe traduisant l'équivalence) :

cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1
sin(x)^2 = 1 - cos(x)^2


En revanche, sin(x)^2 = 1 - cos(x)^2 n'est pas équivalent à sin(x) = rac(1 - cos(x)^2)
Pourquoi ? Car il n'y a pas double implication :
Si a = b, alors a^2 = b^2 => VRAI
Si a^2 = b^2, alors a = b => FAUX, Contre exemple : (-2)^2 = 2^2, et pourtant on n'a pas -2 = 2
L'implication VRAIE est : "Si a^2 = b^2, alors a = b OU a = -b"

Si on continue à dérouler le calcul sans prendre garde, on risque d'écrire quelque chose de faux dans le cas général :
cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1
sin(x)^2 = 1 - cos(x)^2
sin(x) = rac(1 - cos(x)^2)

En oubliant que NON, la deuxième ligne n'entraîne pas, a priori, la seconde ligne.
Ce qu'il est juste d'écrire ici :

sin(x)^2 = 1 - cos(x)^2
sin(x) = rac(1 - cos(x)^2) OU sin(x) = - rac(1 - cos(x)^2)

Il y a bien deux possibilités. Et cela est conforme à ce à quoi on s'attend : un simple coup d'oeil au cercle trigonométrique nous permet de remarquer qu'à une valeur de cosinus fixée correspondent toujours deux angles compris dans ]0;2Pi[.
Lorsque l'on a une autre information, on peut trancher entre les deux...

Ici, l'angle en question, dont on n'avait au départ que le cosinus, est 9Pi/5. Connaissant l'angle, on peut déterminer l'information qui nous manque : le signe du sinus. C'est ce qu'a fait CARAC8B10 dans son post, plus haut.

Finalement, cela permet de conclure, et de terminer la seule et unique valeur du sinus recherché.

Cette erreur est assez fréquente au lycée, et porte pourtant sur des notions très importantes. Typiquement, les programmes de Prépa scientifique consacrent le premier chapitre de l'année à une mise au point sur ces éléments fondamentaux de logique mathématique.