Base de l'espace des solutions d'un système homogène

[K.Nala]

Bonjour !

Je suis en pleine révision pour les partiels approchant et je suis tombé sur une contradiction dans mon cours et dans mes notes. J'ai beau tenter de compléter mes notes avec le syllabus du cours, le problème persiste.

J'ai donc un exercice solutionné (à réponses uniquement, pas de démonstration) qui se présente comme tel :

Le système homogène :
x1 + x2 + x3 = 0
x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0
x2 + x4 + x5 = 0

Déterminez :
1. La dimension
2. Une base de l'espace des solutions (le système s'appelle S0)

Un exercice somme toute assez simple. Immédiatement on voit que la seconde ligne est combinaison linéaire des deux autres et on peut ramener le système à un système échelonné :
x1 + x2 + x3 = 0
x3 + x4 + x5 = 0

Partant de ce nouvau système, la dimension est immédiate, cinq variables moins deux équations libres donnant un rang de deux, la dimension dim Sol(S0) = 3

Le problème vient à la seconde question.
Une base de l'espace est donc, selon moi et de manière très résumée, une famille génératrice minimale. En gros on a un certain nombre de vecteurs qui est une famille génératrice de notre espace, et ces vecteurs ne peuvent voir l'un des leurs être retiré sans que cette famille ne soit plus génératrice.

Pour calculer une base, j'ai appris une méthode assez simple qui est, et là je cite le cours : "Prenons les variables n'apparaissant pas en tête d'équation". Et ces variables seraient donc x2, x4 et x5, seules variables à coller à cette demande.

Pourtant je remarque que la solution donnée utilise x1, x4 et x5 pour donner les vecteurs (-1, 1, 0, 0, 0), (1, 0, -1, 1, 0) et (1, 0, -1, 0, 1) qui sont une base de Sol(S0)
(cela trouvé en fixant x1 à 1 et les autres à 0, puis x4 à 1 et les autres à 0 et x5 à 1 et les autres à 0)

Donc là je suis perplexe; d'un côté je lis qu'il faut appliquer cette méthode sur les variables n'apparaissant pas en tête d'équation, de l'autre un exercice corrigé utilise une variable qui apparaît en tête d'équation.
Pourtant x3 n'est pas utilisé ! Cela veut-il dire que la première tête d'équation est utilisable ? Y aurait-il une erreur dans la correction ?

Merci pour votre lecture et d'avance pour votre réponse !
-----

[sylvainc2]

Il y a un probleme avec la réponse, car les 3 équations sont indépendantes, alors il y a en fait 2 variables libres, pas 3. Le rang du système est 3. D'ailleurs Maple donne comme solution:

x1 = 2*x4+2*x5
x2 = -x4-x5
x3 = -x4-x5

donc Maple a choisi x4 et x5 comme variables indépendantes. Mais on pourrait prendre n'importe quelle autre paire si on voulait (dans cet exemple-ci en tout cas).

Donc si x4=1 et x5=0: alors x1=2, x2=-1 et x3=-1, et si x4=0 et x5=1: alors x1=2, x2=-1 et x3=-1 aussi. Donc une base de l'espace des solutions est formée des vecteurs (2,-1,-1,1,0) et (2,-1,-1,0,1).

[Médiat]

Bonjour

Donc là je suis perplexe; d'un côté je lis qu'il faut appliquer cette méthode sur les variables n'apparaissant pas en tête d'équation, de l'autre un exercice corrigé utilise une variable qui apparaît en tête d'équation.
Pourtant x3 n'est pas utilisé ! Cela veut-il dire que la première tête d'équation est utilisable ? Y aurait-il une erreur dans la correction ?

Non, pas d'erreur dans la correction (s'il y a bien une erreur dans l'énoncé), mais dans la "règle", qui n'est en rien une obligation (et même, selon moi, pas la meilleure règle), au mieux j'écrirais "on peut appliquer ...".

[K.Nala]

Ah d'accord. Et effectivement j'ai fait une faute de frappe, le système était bien :
x1 + x2 + x3 = 0
x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0

Donc si il n'y a pas d'obligation, ok, merci.

[A voir en vidéo sur Futura]