Espace vectoriel et ensemble des solutions d'un système linéaire homogène.

[fred3142]

Bonsoir.

Il est bien connu que l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à n inconnues dans un corps K est un sous espace vectoriel de .
Réciproquement, tout sous espace vectoriel de est l'espace de solutions d'un système linéaire homogène à n inconnues.
J'ai la démonstration dans un livre, je suis d'accord avec les différentes étapes, mais même après l'avoir lue elle ne m'apparaît pas clairement, je veux dire que je serais incapable de la refaire dans une semaine, je n'en comprends pas le fil directeur.
J'ai donc essayé de raisonner en petite dimension avant d'envisager le cas général, pour bien comprendre ce que je faisais. Pour n=3 par exemple et si le sous espace est un plan, le but du jeu est donc de trouver une équation cartésienne du plan à partir de deux vecteurs générateurs, chose que l'on fait facilement par des manipulations algébriques. Mais je n'arrive pas à extraire de ce cas particulier la "substantifique moelle" qui me permettra de généraliser. Dans le livre, des matrices sont introduites et un raisonnement sur leurs transposées permet de conclure.
Je ne cherche pas une démonstration formelle de la chose (que j'ai dans mon livre), mais une démonstration imagée et commentée ("on introduit telle matrice parce que ...", "d'un point de vue géométrique on fait ...").
C'est tout bête comme problème, il suffira du déclic habituel pour que ça m'apparaisse évident mais le déclic est long à venir ce soir

Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonsoir,

Je ne comprends pas ce qu'il y a de compliqué : L'espace de solutions d'un système linéaire homogène à n inconnues n'est que le noyau d'une application linéaire, et réciproquement (il suffit de passer par l'écriture matricielle). Donc le problème revient à montrer que tout sous-espace vectoriel est le noyau d'une application linéaire. Il suffit donc de prendre un projecteur, non ?

[fred3142]

Merci pour ta réponse.
J'ai oublié de préciser que le bouquin que j'utilise pose les bases d'algèbre linéaire dans un ordre un peu différent de celui utilisé en général dans l'enseignement, ce qui fait que je ne suis pas censé utiliser les notions relatives aux applications linéaires à ce stade (le but du jeu c'est de reprendre mais d'une façon un peu différente ce que j'ai déjà vu en cours).
Mais j'ai repris ça aujourd'hui et le déclic est bien venu (c'était pas grand chose, mais rien à faire hier ...).
Merci quand même et désolé de ne pas avoir été plus précis dans mon premier message.