Déterminer un seuil

[inviteec12a0c1]

Bonjour,

Je suis empêtré dans un phénomène de mécanique des fluides qui devrait être simple à résoudre mathématiquement mais je suis complètement rouillé en maths (je précise que je ne demande pas qu'on me résolve un exercice d'université, c'est un problème personnel). Je pense que c'est du niveau lycée donc je viens poser ici.

J'ai un phénomène qui dépend de 2 paramètres (x et y) et je ne peux jouer que sur y. Le phénomène en question se produit seulement si l'équation suivante est vérifiée (a, b et c sont des constantes) :
a/x + bx < cy^2.

Quelqu'un peut m'expliquer comment déterminer le seuil en question ?
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[gg0]

Bonjour.

A priori, si c>0, on peut toujours choisir y pour que l'inégalité soit vérifiée. Difficile d'en dire plus sur cet énoncé assez peu explicite.

Je n'ai pas compris ce que tu appelles "seuil".

Cordialement.

[invite7c2548ec]

Bonjour :

Votre soucis est de déterminer le point déclencheur du phénomène conformément a la condition initiale est ce cela ?

Cordialement

[inviteec12a0c1]

Je vais essayer de détailler le problème puisque ce n'est pas clair, je m'en excuse. Mais pour simplifier les équations je ne ne pense pas utile de détailler les constantes.

Lorsque 2 fluides circulent à des vitesse différentes il se crée des ondulations sur leurs surfaces en contact. À partir d'un certain seuil de différence des vitesses (notons cette différence Du), il peut se créer l'instabilité de Kelvin-Helmholtz (les vagues se transforment en vortex).

Celui-ci peut se produire lorsque la relation a/k + bk < c(Du)^2 est vérifiée, avec k un paramètre lié à la longueur d'onde (c'est bien a/k + bk et non a/(k + bk))

Tout ce que j'ai su faire jusqu'à présent c'est mettre sous Excel a/k + bk - c(Du)^2 = 0 dans une colonne. Je fixais différentes valeurs de Du puis je déduisais k en utilisant "valeur cible = 0". Et ça ne fonctionnait pas en deçà d'une certaine valeur (Excel faisait un certain nombre de boucles pour finir dans les 10^14…). Bref, ça illustre ce que je cherche : en dessous d'une certaine valeur de Du (donc si les vitesses des fluides ne sont pas assez différentes), quelle que soit la valeur de k, on ne peut pas avoir d'instabilité de K-H.

Je cherche donc comment déduire la valeur de Du exacte à partir de laquelle la relation commence à se vérifier.

J'espère être plus clair ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb3412e7c]

As-tu étudié la fonction ?

[gg0]

Bonjour.

Je vais supposer que les constantes a, b, c et les variables k, Du sont toutes positives. Dans ce cas, quand k varie de 0 à +oo, la quantité a/k + bk varie de +oo (k tendant vers 0) à un minimum M puis remonte à l'infini (pour k tendant vers l'infini). Donc il n'est pas possible de trouver une valeur de k qui permet l'inégalité si c(Du)² est inférieur à ce minimum M; et par contre, si c(Du)²>=M, il y a une ou plusieurs valeurs de k qui sont solution de ton équation, et on peut trouver des valeurs de k qui permettent l'instabilité.
Cette question est bien du niveau lycée, puisque ton inéquation s'écrit Du²>(a/k+bk)/c et qu'elle se traite en étudiant la fonction proposée par Arttle (niveau première).
Si mes hypothèses de signes sont correctes, il te suffit de trouver la valeur du minimum, donc la valeur de x qui annule la dérivée, puis la valeur correspondante de f(x). Ça te donnera la valeur minimale de Du².

Cordialement.

[inviteec12a0c1]

J'avais bien pensé à dériver (d'ailleurs je l'ai fait sur le papier) mais je ne comprenais pas pourquoi c'est la solution. Grâce à votre explication de variation entre +oo et +oo en passant par un minimum je comprends mieux (les maths sont loin derrière moi et il y a des réflexes que je n'ai plus).

Au passage oui tout est positif donc ça règle mon problème.

Merci beaucoup et bonne journée !