Limites d'une suite

[Zegatz]

Je suis en terminale S, et ma prof nous demande tous les jours de démontrer quelque chose. En ce moment, nous travaillons sur les limites des suites, et je bloque sur la démonstration de ce soir.
Je suis censée démontrer que si (un) est une suite non majorée et croissante alors elle tend vers +infini. Voilà je ne comprends pas comment je peux le démontrer, selon moi c'est dans l'énoncé, si une suite n'est pas majorée, cela signifie OBLIGATOIREMENT qu'elle tend vers +infini... peut-être que je me trompe mais je ne comprends pas comment je peux démontrer cette évidence...
Merci d'avance
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[Resartus]

Les "évidences" sont parfois trompeuses en mathématiques, et le but de l'exercice est de s'entraîner à écrire mathématiquement une démonstration rigoureuse.

Il faut donc écrire ce que veut dire qu'il n'existe pas de majorant (avec des quantificateurs comme "il existe", ou "pour tout", etc, et les inégalités qui vont bien),, et transformer de manière adéquate pour trouver la formulation équivalente à Un tend vers l'infini.

On peut aussi procéder à l'envers "par l'absurde", en supposant que la serie ne tend pas vers l'infini, et en déduire qu'il existe un majorant.

[ansset]

bonsoir Zegtaz,
tu peux prendre en exemple une suite simple comme
xsin(x)
cette fonction oscille régulièrement ( croissante puis décroissante ) avec des amplitudes croissantes ( x en multiplicateur )
elle n'est ni majorée ni minorée, et ne tend pas vers +l'inf.
Cdt

[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) si une suite n'est pas majorée, cela signifie OBLIGATOIREMENT qu'elle tend vers +infini... peut-être que je me trompe mais je ne comprends pas comment je peux démontrer cette évidence...

Attention, c'est complétement faux, ... il ne faut pas oublier le caractère croissant de la suite qui est ici primordial.

Prend par exemple la suite . Cette suite n'est pas majorée et pourtant elle ne tend pas pour autant vers (cf. aussi le message précédent de ansset).

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

désolé, j'ai cité une fonction , et pas une suite , mais l'esprit reste le même.
Cdt

[Médiat]

désolé, j'ai cité une fonction , et pas une suite , mais l'esprit reste le même.
Cdt

Si, si, il suffit de dire que x est un entier

[PlaneteF]

Bonjour,

Juste une petite remarque en guise de complément :

Le problème s'il l'on voudrait (je ne dis pas que quelqu'un le veut ici !) concocter un contre-exemple utilisant avec , c'est qu'à priori (et je dis bien à priori) on n'en connait pas le comportement.

Pour illustrer ce que je veux dire, on sait parfaitement que , , , , ... et que l'alternance se pousuit.

Maintenant quid du comportement de , , , , ... et de dans son cas le plus général ?


Cdt

[ansset]

bjr,
je ne sais pas à qui s'adresse la question.
ma réponse serait "pseudo-aléatoire".
car la densité des résultats n'est pas totalement homogène entre -1 et +1.
On peut même en dresser une courbe.

[PlaneteF]

je ne sais pas à qui s'adresse la question.

En fait, à proprement parler, je ne posais pas vraiment une question, ... je soulignais juste que le contre-exemple fonctionnait de manière évidente, ... par contre nécessite de se pencher sur le sujet.

Cdt

[ansset]

En fait, à proprement parler, je ne posais pas vraiment une question, ... je soulignais juste que le contre-exemple fonctionnait de manière évidente, ... par contre nécessite de se pencher sur le sujet.

Cdt

bonsoir,
je pensais y avoir répondu ds mon post précédent.
autant la fonction xsin(x) est de longueur d'onde stable mais avec une amplitude croissante.
pour nsin(n) , la situation est différente.
sin(n) est aléatoire mais pas totalement homogène .
la concentration des résultats est plus forte autour de 0 qu'autour des valeurs -1 et 1. la distribution des résultats doit être assez facile à décrire.
enfin, quand je dit assez facile, c'est une intuition.
Cdt

[PlaneteF]

(...) c'est une intuition.

Cela résume tout mon propos !

Cdt

[ansset]

peut être qu'un ptit programme de 1 à 1000 ( par exemple ) donnerait une indication des différences de densité de résultat.
mais il y a longtemps que je n'ai plus aligné des lignes de code.
l'algorithme dans ce cas est pourtant simplissime.

l'intuition elle, vient de la simple densité initiale des valeurs de sin(x). ( si on tourne régulièrement autour du cercle par exemple ).
Cdt

[ansset]

correction majeur,
j'ai confondu (inversé) le sin et le cos.
c'est l'opposé

[PlaneteF]

En fait on ne parle pas de la même chose toi et moi. Cela n'enlève d'ailleurs rien à l'intérêt qu'il peut y avoir à ce qui est dit de part et d'autre, ...

De mon côté je parle de démonstration avec un papier et un crayon, ou un tableau et une craie (et pas de justification intuitive, ni de justification via une quelconque machine) faisable à un niveau de terminal telle que l'on pourrait le demander au BAC à l'écrit ou à l'oral (je rappelle que l'on est sur le forum du collège et du lycée) ... Mon propos c'était aussi de dire, toujours à des lycéens, attention à la tentation dangereuse d'extrapoler sans se poser de question un contre-exemple d'une fonction réelle, en l'occurrence , pour une certaine problématique, à un contre-exemple d'une suite, en l'occurrence pour une problématique semblable ... Le caractère évident du premier lui ne s'extrapole pas (la preuve, ce que tu as dit) !

Maintenant de ton côté ce que tu dis est fort intéressant, ce n'est pas dans le périmètre de ce que je viens de décrire, ... ce qui n'est d'ailleurs pas un problème en soi, et même au contraire tout cela se complète très bien.

--> Je précise tout cela juste pour dire que les échanges de messages qui viennent d'avoir lieu ne sont justement pas des échanges, je parle d'un truc, tu parles d'un autre truc.

Mais c'est fort possible que tu étais conscient de tout cela !

Cdt

[ansset]

a vrai dire , je n'en étais pas sur.
donc oui et non.
oui pour la différence essentielle entre la fonction xsin(x) et la suite nsin(n)
mais je pensais aussi que tu attendais un réelle démo pour confirmer ce que j'avance.
apparté : j'ai longtemps utilisé un artifice de ce type dans des créations de mouvement de N particules ( images de synthèse ).
je parle de l'utilisation d'un sin(n) pour sortir un chiffre entre x et y.
avec des résultats "suffisamment" aléatoire pour le résultat voulu.
Cdt.