bonjour à tous,
voilà l'énoncée:
"Sur les côtés [ab] et [ad] d'un carré ABCD, on construit à l'exterieur de celui-ci, deux triangles équilatéraux AFB et AED.
Que pensez vous de l'affirmation suivante ? "Le triangle CEF est équilatéral"
Vous pourrez utiliser le resultat suivant : hauteur d'un triangle équilatéral = a*racine3 sur 2. "
J'ai beau essayer plusieurs approches différentes, je n'y arrive pas.
Merci de vos réponses.
Bonsoir.
je connais plusieurs approches, qui permettent de résoudre ce problème. Comme on ne fait la les exercices à la place des élèves, on va attendre que tu exposes une ou plusieurs de tes approches (avec le but visé).
Cordialement.
Bonsoir,
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EDIT : Grillé par gg0... Disons que je mets une indication en spoiler
Dernière modification par Seirios ; 13/09/2015 à 19h50.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Désolé Seirios, mais CEA et CAF ne sont pas rectangles...
Pour ce qui est des approches utilisées, j'ai d'abords tenté d'écrire un max de relations entre les différents côtés, normalement, ça fonctionne assez bien mais là...
Par exemple, je sais pas si vous voyez bien la figure mais voilà par quoi j'ai commencé:
Donc le but est de montrer que CEF est équilatéral.
D'abord, j'ai placé H, milieux de EF,donc à l'origine de la hauteur de FE. On a donc HC la hauteur de FE et HE=EF.
Assez simplement : HE²+HC²=EC² (l'un des côtés du triangle équilatéral)
et : HF²+HC²=FC² (lui aussi)
Et comme HE=EF, il est évident que EC=FC. On a donc déjà démontré que deux des côtés de CEF sont égaux. Reste donc EF. Mais je n'arrive pas à le lier aux deux autres. C'est probablement du au fait que EF, à la différence de EC et FC, EF est à l'exterieur du carré ABCD.
Inutile d'utiliser des racine(3)/2
Que peut on dire des triangles CDE et CBF? Ensuite on peut calculer la valeur des angles CDE et CBF, puis celle des angles DCE et BCF, puis celle de FCE.
Puis on sait que CE=FC, donc....
Après je me suis d'abord concentré sur EF ( le côté extérieur donc).
D'abords, on place O, le centre du carré ABCD. Ensuite, on trace FO et EO, les "prolongations" des hauteurs des deux petits triangles équilatéraux AFB et AED. Donc FO=EO.
Maintenant, appelons A le coté du grand triangle CEF et a, le cotés des petits tiangles AFB et AED.
La hauteur d'un triangles équilatéral est donnée par a*racine3/2. Donc les hauteurs de AFB e de AED valent a*racine3/2. Leurs "prolongations" valent exactement a/2 car elles rejoignent le centre de ABCD.
On a donc FO=EO= a*racine3/2 + a/2.
Or dans le triangle isocèle rectangle FOE, l'hypothénuse EF vaut, selon la formule A*racine2 :
(a*racine3/2 + a/2 )racine2 = EF.
Mais ce raisonnement s'avèrent impossibles pour les deux autres côtés FC et EC...
Bonjour,
un peu d'imagination pour calculer CE :
M le milieu de BC et le triangle rectangle MCE
sinon la preuve la plus expéditive est basée sur l'idée de triangles isométriques
(si on connait un peu les feus "cas d'égalités des triangles" et si on a marqué dès le départ tous les côtés égaux à "a")
une autre preuve est basée sur la propriété : tout triangle isocèle avec un angle de 60° (n'importe lequel d'ailleurs) est équilatéral, en calculant l'angle ECF.
mais comme l'énoncé même "suggère" d'utiliser les hauteurs de triangles équilatéraux...
