Limite/fonction

[invite9cb3526e]

Bonjour, je fais un exercice VRAI/FAUX et je suis bloquée, je m'explique:

1) F est une fonction défini sur [0;+inf[ telle que f(0)=0 et la limite de F en +inf est égale à + inf, alors f est positive sur [0;+inf[

* Pour moi, cette affirmation est vraie, donc répondre à cette question, j'ai fait un tableau de signe, mais est-ce suffisant ?


2) F est une fonction définie sur IR telle que la limite de f en -inf est égale à -inf et la limite de f en +inf est égale à -inf alors f est croissante sur IR

Pour moi, cette affirmation est fausse, mais je ne trouve pas de contre-exemple

3) F est une fonction définie et est strictement croissante sur [0; +inf[ alors la limite de f en +inf est égale à +inf
Pour moi cette affirmation est fausse j'ai trouvé la fonction arctan comme contre-exemple

4) f et g sont définie sur [1;+inf[, si x tend vers +inf alors lim de f(x)/g(x)= 1 , alors il existe a qui appartient à [1;+inf[ tels que pour tout x>a, f(x)=g(x)

Par contre pour cette affirmation , j'en ai aucune idée !

Tout aide serait la bienvenu , merci .
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[pm42]

1) F est une fonction défini sur [0;+inf[ telle que f(0)=0 et la limite de F en +inf est égale à + inf, alors f est positive sur [0;+inf[
* Pour moi, cette affirmation est vraie, donc répondre à cette question, j'ai fait un tableau de signe, mais est-ce suffisant ?

C'est faux. Comment peux tu faire un tableau de signe sur une fonction dont tu ne connais rien. Regarde x*(x-1) par ex.

2) F est une fonction définie sur IR telle que la limite de f en -inf est égale à -inf et la limite de f en +inf est égale à -inf alors f est croissante sur IR
Pour moi, cette affirmation est fausse, mais je ne trouve pas de contre-exemple

Un polynome de degré 3 bien choisi va te donner ton contre exemple. x*(x-1)*(x-2) par ex.

3) F est une fonction définie et est strictement croissante sur [0; +inf[ alors la limite de f en +inf est égale à +inf
Pour moi cette affirmation est fausse j'ai trouvé la fonction arctan comme contre-exemple

Ok.

4) f et g sont définie sur [1;+inf[, si x tend vers +inf alors lim de f(x)/g(x)= 1 , alors il existe a qui appartient à [1;+inf[ tels que pour tout x>a, f(x)=g(x)

Essaie avec x et x+1 pour f et g par ex.

[invite9cb3526e]

Bonjour pm42,

Alors pour l'affirmation 1, j'ai pris comme vous l'avez dit f(x)= x(x-1)

j'ai fais un tableau de signe de la fonction est sur [0;1] f(x) est négative ---> affirmation fausse

[pm42]

En effet. L'affirmation 1 est fausse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cb3526e]

Donc pour le 2)

L'affirmation est fausse, j'ai calculé la limite de f(x)= x(x-1)(x-2)----> lim de f en -inf est égale à -inf , et lim de f en +inf est égale à +inf
J'ai ensuite dérivé f'(x)= 3x²-6x+2
Donc on trouve 2 racines: 1plus ou moins (racine 3/ 3 )
En étudiant les variations de f en [ 1-(racine3/3; 1+(racine 3/3)], on remarque que f(x) est décroissante, donc l'affirmation est fausse

[pm42]

Encore gagné.

[invite9cb3526e]

Par contre, pour la dernière je ne vois pas,
si f(x)=x
et g(x)= x+1
Alors pour x qui tend vers +inf, la limite est indeterminée non ?

[pm42]

Non, la limite est totalement déterminée et très facile à calculer.

[invite9cb3526e]

Mais dans tout les cas on retrouve +inf/+inf c'est donc une forme indéterminé non ?

[pm42]

Mais dans tout les cas on retrouve +inf/+inf c'est donc une forme indéterminé non ?

Parfois, mais (x+1)/x, ça ne vaut pas 1+1/x par hasard ?

[invite9cb3526e]

Ahhh oui! j'avais bien fait l'inverse, x/ x+1
Donc lim de f(x)/g(x)=1 avec x qui tend vers +inf

[pm42]

L'inverse se fait facilement. x/(x+1) = 1 - 1/(x+1).

[invite9cb3526e]

on a f(x)/g(x)=1
Donc f(x)=g(x)*1
Donc l'affirmation est vraie

[pm42]

Non, tout ce que tu viens d'écrire est faux. Je te laisse chercher maintenant.

[invite9cb3526e]

Donc on a montrer que pour f(x)=x+1 et g(x)=x , alors la limite de f(x)/g(x)=1 lorsque x tendait vers +inf
Donc est-ce que je peux dire que 1 est une asymptote horizontale de f(x)/g(x)?
Pour moi cette affirmation est fausse