Bonjour,
Afin de m'entraîner pour la spé maths j'ai décidé de faire cette exercice mais le problème est que je bloques sur la première question.
A l'initialisation avec x=o et y=8, c'est bon.
L'hypothèse de récurrence est 5x-y+3=0 et il vaut démontrer que cela est vrai au rang p+1.
Donc 5(x+1) - (y+1)+3 =0
Je remplace alors par la valeure des suites données dans l'énnoncé et je trouve (5/3)x-y+3 =0
Où est le problème?
Merci par avance
Totale catastrophe !
"L'hypothèse de récurrence est 5x-y+3=0 " !!! Ce n'est pas une hypothèse, c'est l'équation de la droite.
Déjà avant, c'est raté : "A l'initialisation avec x=o et y=8, c'est bon." Avec x=0 et y=3 aussi. Oui, je sais, on n'a pas ces valeurs dans l'énoncé. mais on n'a pas non plus x=0 et y=8.
Alors, la première chose est de bien lire l'énoncé, pour traiter la question posée et pas autre chose.
Quelle est la propriété à démontrer par récurrence ? (c'est explicitement dit dans l'énoncé)
Quel est l'entier ? (une preuve par récurrence sert à démontrer qu'une propriété dépendant d'un entier est vraie pour toute valeur de cet entier)
Quelle est sa première valeur possible ? (pour pouvoir initialiser)
Etc.
Bon travail !
Il faut montrer que tous les points M(xn;yn) appartiennent à la droite d'équation 5x-y+3=0
Donc pour moi la première valeur de M est M(1;8) => J'ai marqué X=0 mais j'avais fait le calcul avec X=1, erreur de recopiage ou alors j'ai toujours rien compris.
Mais je ne vois pas l'entier : pour moi l'entier c'est M c'est à dire un couple d'entier ?
Si on part de ça il faut montrer que ce sont tous les points qui vont appartenir à la droite. Donc les points M(Xn+1;Yn+1)
Cordialement
"Mais je ne vois pas l'entier : pour moi l'entier c'est M c'est à dire un couple d'entier ?" Non, M est un point, rien d'autre. Quand on parle de récurrence sur l'entier, il s'agit de n.
"Si on part de ça il faut montrer que ce sont tous les points qui vont appartenir à la droite. Donc les points M(Xn+1;Yn+1)" Là aussi une phrase confuse qui trahie sans aucun doute une mauvaise compréhension du sujet.
Relis bien l'énoncé: on note Mn le point de coordonnées (xn,yn) n étant un indice appartenant à N l'ensemble des entiers naturels.
Ce qu'on te demande de vérifier c'est que pour tout n le point Mn appartient bien à la droite d'équation 5x-y+3=0.
Mn appartenant à la droite c'est effectivement équivalent à ce que xn et yn vérifient l'équation précédente, ce que tu as noté dans ton premier post.
Pour démontrer ça l'énoncé t'aide en te conseillant de résonner par récurrence.
Qu'est ce que la récurrence? Relis ton cours:
1)on pose une propriété dépendant d'un entier n
2)on démontre que la propriété est vraie pour un rang initial (ici n=0)
3) on suppose la propriété vraie pour n: on montre qu'elle est vraie pour n+1
Avec ces indications tu devrais pouvoir t'en sortir. Tu as l'aire d'être parti plus ou moins là-dessus mais tes explications ne sont pas clairs dans ton premier post, il est important d'être rigoureux quand tu t'exprimes (bien noter les indices etc...)
Bon calcul
Bonjour,
Démontrons par récurrence que tous les points Mn sont sur la droite d'équation 5xp-y+3=0
Initialisation
Au rang n=0, M0 est de coordonnées M0(x0;y0)
Soit (1;8)
5-8+3=0 C'est vérifié. On a initialisé la récurrence.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à certain rang p : Alors tous les points Mp appartiennent tous à la droite 5x-y+3.
Démontrons que cela est vraie au rang p+1, c'est à dire que le point Mp+1 appartient bien à la droite.
Mp+1 est de coordonnées (xp+1;yp+1).
Vérifions qu'il appartient à la droite :
5xp+1-yp+1+3
= 5 [(7/3)xn+(1/3)Yn+1)]-[(20/3)Xn+(8/3)Yn+5] +3
= 5xp-yp+3
Or d'après l'hypothèse de récurrence on a supposé que tous les points Mp appartenaient à cette droite.
C'est vraie au rang p+1. C'est héréditaire.
Il y a à la fois tout ce qu'il faut, et une rédaction qui montre que tu ne comprends pas ce que tu écris; voire l'énoncé lui même ..
"que tous les points Mn sont sur la droite d'équation 5xp-y+3=0" ??? pourquoi xp dans une équation de droite ?
" Alors tous les points Mp appartiennent tous à la droite 5x-y+3." ??? Il y a combien de points Mp à ton avis ? sans compter que 5x-y+3 n'est pas une droite (là aussi, il y a des choses que tu mélanges depuis des années).
Donc suivant le prof, tu auras un quart des points (prof gentil) ou 0.
Il faudrait, pour rédiger correctement, commencer par écrire, comme te l'a conseillé Khyla, la propriété à utiliser. ce n'est pas "tous les points Mn sont sur la droite d'équation 5xp-y
La conclusion est de la forme "pour tout n, propriété" où la propriété comporte la lettre n. C'est cette propriété que tu dois vérifier pour n=0, puis ensuite utiliser pour montrer que si elle est vraie pour un entier n, elle est vraie pour l'entier suivant (n+1).
Rappel : l'activité mathématique est une activité intelligente. Écrire des phrases qu'on ne comprend pas vraiment est une activité inintelligente. Donc mets des significations sur les phrases que tu écris. pour cela, apprends le vocabulaire des maths, sans mélanger les notions proches, mais différentes..
Cordialement.
1) Tous les points Mn sont sur la droite d'équation 5x-y+3=0
2) Le point Mp est sur la droite 5xp-yp+3=0
3)Je ne vois pas ce que peut être la propriété (énoncé) à part "Les points Mn sont sur la droite d'équation 5x-y+3=0". A partir de ça on suppose que c'est vrai pour un point p et on démontre que c'est vrai pour le point suivant (p+1) : c'est le principe de récurrence et on démontrer donc la propriété initiale
4) "Pour tout n, On a démontré que les point Mn (n appartient au entiers naturels) appartient à la droite d'équation 5x-y+3=0"
=> ça c'est que j'ai montré au rang n=0 puis supposé vrai au rang P, démontré vrai au rang p+1 et donc par récurrence pouvoir dire que c'est vrai.
Le fait que tu écrives "Les points Mn sont sur la droite d'équation 5x-y+3=0" montre bien que tu ne comprends pas ! C'est encore ce que tu dois démontrer. Dit autrement. A moins que tu croies que pour un n donné, il y a plusieurs points Mn ?
" la droite 5xp-yp+3=0" n'a toujours aucun sens : 5xp-yp+3=0 n'est pas une droite, mais une équation, une relation entre x et y.
Écris ce qu'il faut prouver sous la forme "pour tout entier n, ...". le fonctionnement du français fait que n est dans la suite de la phrase un seul objet, donc qu'il n'y a pas de pluriel le concernant ("pour tout réel x, son carré x²& est positif").
Ton 4 est ce qu'il faut démontrer, ce qui est après => est inquiétant. Dis-tu que tu as supposé la conclusion vraie "au rang p" ce qui ne veut rien dire.
Il ne faut pas confondre "la propriété est vraie pour tout n" avec la propriété. Pour un réel x, il arrive que la propriété "x>0" soit vraie. ne pas confondre "x>0" avec "pour tout x, x>0".
Je vais être plus explicite.
Il faut prouver (je traduis l'énoncé) : Pour tout entier n, le point Mn est sur la droite
Donc la propriété dépendant de n est : "le point Mn est sur la droite
On vérifie que cette propriété est vraie pour n=0 (tu l'as fait)
On suppose qu'elle est vraie pour un entier donné, que tu as appelé p : "le point Mp est sur la droite
On prouve qu'elle est vraie pour l'entier suivant p+1 (tu l'as fait)
On conclut qu'elle est vraie pour tout entier.
Vu de loin, c'est assez peu différent de ce que tu as écrit, mais dès qu'on lit vraiment, ce n'est plus la même chose. par exemple il n'y a qu'un seul point Mn (un seul M0, un seul M1, un seul M2, ... un seul M100, ...) si on ne fait pas varier n (ce qui est le cas dans la preuve : Au début il est égal à 0, ensuite il est fixé, égal à p).
Cordialement.
Oui je vois. Je sais bien que Mp est un seul point mais la façon dont je l'ai rédigé fait penser qu'il pourrait y en avoir plusieurs. De même pour Mn..C'est ma façon de rédiger qui n'était pas clair car au vu de ce que vous dîtes, c'est ce que je pensais dans ma tête.
Question 2 :
Il faut prouver : "pour tout entier n, xn est un entier naturel"
Initialisation.
Au rang n=0, X0=1, c'est donc X un entier naturel. On a initialisé la récurrence.
Hérédité
On suppose qu'à un certain rang p , Xp est un entier naturel. On veut démontrer qu'au rang p+1, Xp+1 est un entier naturel.
Xp+1=4Xp+2
XP est un entier naturel (HR) donc un produit d'entier naturel est un entier naturel et l'addition d'un entier naturel avec un entier naturel est un entier naturel
On a donc montré par récurrence que pour Xn est un entier naturel pour tout n € N.
Pour Yn on raisonne de la même façon en utilisant le fait que Yn=5Xn+3
Cette fois-ci, c'est parfaitement clair, sauf la dernière phrase (le "pour Xn" qui ne veut rien dire). Tu peux raccourcir :
Il faut prouver : "pour tout entier n, xn est un entier naturel"
Initialisation.
Au rang n=0, X0=1, est un entier naturel.
Hérédité
On suppose qu'à un certain rang p , Xp est un entier naturel.
Xp+1=4Xp+2
Xp est un entier naturel, un produit d'entiers naturels est un entier naturel et l'addition d'un entier naturel avec un entier naturel est un entier naturel donc Xp+1 est un entier naturel
Donc, pour tout n € N, Xn est un entier naturel.
L'an prochain, tu raccourcira encore :
Prouvons que "pour tout entier n, xn est un entier naturel"
X0=1, est un entier naturel.
On suppose que Xp est un entier naturel.
Xp+1=4Xp+2
comme les additions et multiplications d'entiers donnent des entiers, Xp+1 est un entier naturel
Donc, par récurrence, pour tout n € N, Xn est un entier naturel.
Cordialement.
D'accord merci pour votre réponse.
Passons à la question 3a)
Montrer que Xn est divisible par 3 ssi Yn est divisible par 3.
Au début je voulais partir du fait que Yn est divisible par 3 :
Il existe un entier relatif k tel que Yn=3k
d'où 5Xn-3(k+1)=0
5Xn=3(k+1) Or 5 et 3 étant premier entre eux, Xn est divisible par 3 si Yn est divisible par 3.
==> Le problème est que cette méthode ne met pas en relief le "si et seulement si" enfaite si Yn est divisible par 3 alors Xn est divisible par 3 mais peut-être que Xn peut être divisible pour une autre condition ?
Donc ma deuxième méthode est :
On suppose que Xn est divisible par 3
Il existe un entier relatif k' tel que Xn=3k'
5*3k'-y+3=0
3(5k+1)-yn=0
3(5k+1)=Yn
Donc Yn est divisible par 3.
Xn est divisible par 3 ssi Yn est divisible par 3.
Je pense que la méthode 2 est meilleur mais je ne suis pas sur. Peut-être qu'aucune n'est bonne, ne mettant pas assez en relief le "ssi"
Cordialement
Il semble y avoir une incompréhension profonde de ce que veux dire "si et seulement si". Cela veut dire quelque chose de précis, et pas un truc "à mettre en relief" (qui n'a pas vraiment de sens en maths). Que veux dire "on a A si et seulement si on a B"?
Ça veut dire que "Si on a A alors on a B ET si on a B alors on a A", et ça ne veut pas dire autre chose ! Pour démontrer une équivalence il faut donc démontrer les deux implications
Ainsi ni la "méthode 1" ni la "méthode 2" ne démontrent donc que "Xn est divisible par 3 si et seulement si Yn est divisible par 3". En effet,
- dans la "méthode 1", tu as montré "si Yn est divisible par 3 alors Xn est divisible par 3", ce qui n'est pas suffisant
- dans la "méthode 2", tu as montré "si Xn est divisible par 3 alors Yn est divisible par 3", ce qui n'est pas suffisant
Heureusement, tu as toutes les briques pour faire une bonne démonstration
Oui c'est bien ce dont j'avais l'impression, qu'il manquait quelque chose...
Je m'y remet
Mais par mes deux "méthodes" j'ai bien montrés les deux implications non ?
En réunissant les deux, oui.
Pour la question suivante :
Si Xn et Yn ne sont pas divisible par 3, alors ils sont premiers entre eux.
Par contraposée je ne trouve pas car : "si Xn et Yn ne sont pas premiers entre eux, alors ils sont divisible par 3".
S'ils ne sont pas premiers entre eux, ils admettent un diviseur commun d tel que Xn=d*a et Yn=d*b
D'après la relation 5x-Y+3=0
d(5a-b)=-3 donc Xn et Yn sont divisibles par 3 si d<0 ou si 5a-b<0 mais ça comment le savoir ?
Par l'absurde :
On suppose Xn et Yn divisibles par 3 alors il existe des entiers naturels a et b tel que Xn=3a et Yn=3b
D'après 5X-Y+3=0
3(5a-b+1)=0
Si 5a-b+1 différent de 0 c'est absurde et donc l'hypothèse de départ est fausse. Mais 5a+b+1 peut être égale à 0
De toute façon cela ne démontre pas que Xn et Yn sont premiers car même si ils ne sont pas divisible par 3, on ne montre pas le rapport avec la primalité, non ?
=>Je pense donc que le raisonnement le plus adapté est celui par contraposée.
Cordialement
Je rajoutes des petites choses.
Dans la démo par contraposée : le diviseur sera un nombre premier donc d>0 donc a et b>0. Le problème est donc que 5a+b doit être inférieur à 0 avec a et b<0 afin de vérifier l'égalité.
>Dans la démo par contraposée "cela ne démontre pas que Xn et Yn sont premiers entre eux "
Dans la preuve par contraposition, tu avais presque fini :
d(5a-b)=-3 donc d divise -3 etc.
Si tu préfères : d(b-5a)=3 donc d divise 3
Tu as juste oublié une condition sur d pour qu'ils soient premiers entre eux.
d>0 et d<Xn et Yn est ce ça ?
A quelle condition deux entiers sont-ils non premiers entre eux ?
si l'on peut diviser l'un par l'autre et trouver une fraction réductible.
Alors revenons en arrière : A quelle condition deux entiers sont-ils premiers entre eux ?
Nb : Si tu ne connais pas les définitions basiques, ou que tu ne les emploie pas, tu ne peux pas faire des maths.
d doit être différent de 1 ou de Xn et Yn vu qu'un nombre premier est divisible par 1 et lui même.
Cherche dans tes cours ou sur internet la définition de "nombres premiers entre eux".
Tu perds ton temps, et je vais finir par laisser tomber si tu ne fais pas ton travail (le minimum est de savoir ses leçons).
"Deux nombres sont dits premiers entre eux s'ils n'admettent aucun diviseur en commun sinon 1"
C'est la définition.
Ok.
Donc quelle est maintenant la définition de "m et n sont non premiers entre eux" (négation de la définition de "m et n sont premiers entre eux") ?
Deux nombres sont non premiers entre eux s'ils admettent au moins un diviseur en commun différent de 1.
Donc s'il est différent de 1 (et 0, évidemment), il est ....
(rappel, on peut toujours se ramener à des entiers positifs).
maintenant, reprends les messages 17 à 19.
Le diviseur sera un nombre premier donc positif.
