Récurrence suite Fibonacci

[brody60]

Bonjour,

Je dois montrer par récurrence que : pour n>0 F1+F3+...+F(2n-1) = F2n

(Les n sont en indice en dessous)

Je fais donc mon initialisation à n=1 et j'obtiens F1=F2

Pour moi l'initialisation est donc fausse.

Est-ce possible ?

Cordialement
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[The_Anonymous]

Bonjour,

La réponse est plutôt simple : Oui, c'est possible. En effet, , car on définit et et on a .

Reste maintenant à prouver la propriété pour un certain en ayant fait l'hypothèse que la propriété est vérifiée pour .

Cordialement

[brody60]

Bonjour,

Merci pour cette réponse rapide.
j'ai bien compris cette phase.

Pour la suite je ne sais en revanche pas comment jouer avec les indices afin de re-tomber sur la base.
J'obtiens donc Somme (k=0 à 2n) de F_n+1 + F_2n+1 = F_2n+1

Un indice plutôt qu'une solution ?

[The_Anonymous]

En ce qui concerne la récurrence, je te propose d'expliciter proprement ton hypothèse. Tu supposes donc que la propriété est vérifiée pour un certain . Cela signifie donc que

.

Pour pouvoir conclure et avoir fini ta démonstration, il te faut maintenant démonter pour . Tu cherches donc à prouver que .

Je ne comprends pas quelles étapes tu as effectué puisque tu n'explicites rien mais je te suggère de repartir des égalités ci-dessus pour arriver au résultat voulu.

Indice (si vraiment tu n'arrives pas) :

 Cliquez pour afficher

Dans , penser à séparer la somme en deux entités dont l'une utiliserait ton hypothèse.

Je ne vois pas trop comment donner d'indice sans expliciter la réponse, vu la simplicité du raisonnement, mais j'espère au moins que cette démonstration est claire pour toi.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[brody60]

Je ne sais pas comment écrire une équation sur ce site ?

En ce qui concerne le raisonnement j'avais fais le n+1 sauf que je n'avais pas pris compte qu'il s'agissait uniquement des nombres impairs..

Je te remercie, je vais essayer ça demain

[The_Anonymous]

Il n'y pas des postes épinglés en haut de la section mathématiques pour rien, ce lien explique comment procéder en utilisant le langage LaTeX

Eh bien, n'oublie pas de repartir de ta formule de base et de faire attention à la signification de ce que tu écris quand tu introduis des .

Bon travail.

[brody60]

Bonjour,

En continuant l'équation j'obtiens :

F_2n + F_2n+1 = F_2n+1

Soit F_2n = 0

Je suis pourtant censé retomber sur F_2n = F_2n non ?

[gg0]

Heu ... as-tu vraiment rédigé une preuve ? car tu sembles ici partir de la conclusion, et en plus d'une conclusion fausse !

A partir de F1+F3+...+F(2n-1) = F2n, tu sois démontrer quoi, exactement ? Rappel : il n'y a que des impairs sauf dans le second membre.

[brody60]

Bonjour,

Je vais donc détailler mon raisonnement:

Énoncé : Montrer que pour tout n>0 : F₁ + F₃ + ... +F_2n-1 = F_2n

Je transforme l'énoncé : P(n) -> F_2k-1 = F_2n

Initialisation : P(1) -> F₁ = F₂

On sait que F_n = F_n-1 + F_n-2 donc F₂ = F₁ + F₀ = F₁

Initialisation Vraie

Donc P(n+1) -> F_2k-1 = F_2n+2

On extrait le dernier terme :

F_2k-1 + F_2n+1 = F_2n+2

Je ne sais pas comment conclure à partir de là

Une idée ?

Cordialement

[gg0]

Bonjour.

Initialisation : Ce n'est pas clair ! ta somme n'a qu'un seul terme, tu en écris 2. La somme de 1 à 1 c'est F1. Et il te faut justifier que c'est égal à F2. Or tu écris F₂ = F₁ + F₀ = F₁ ce qui est une affirmation à justifier (la deuxième égalité). C'est tellement plus simple d'écrire directement les valeurs de F₂ et F₁.

Suite : Tu as oublié l'hypothèse de récurrence. Ce que tu dois démontrer c'est que p(n) implique p(n+1); toi tu écris P(n+1) comme si c'était vrai !! Donc rédige sérieusement (*) cette partie, et c'est évident. D'ailleurs, même dans ce que tu as écrit, il devrait y avoir quelque chose qui te saute aux yeux !!

Cordialement.

(*) Dans une démonstration, on commence par les hypothèses, et la conclusion vient à la fin, en dernier (c'est le sens du mot "conclusion" étymologie con=ensemble clu =clore, fermer)

[brody60]

Merci pour cette réponse.

En ce qui concerne l'initialisation , j'ai mis deux étapes en une. je dois normalement écrire ma somme et ensuite remplacer les valeurs ce qui doit me donner F₁ = F₂

Pour l'affirmation de F_n = F_n-1 + F_n-2 , celle ci est donné dans l'énoncé.

Pour la suite, je peux effectivement considérer que P(n) est vraie donc on peut remplacer ma somme par F_2n ce qui me donne :

F_2n + F_2n+1 = F_2n+2

Est ce là le rapprochement avec l'affirmation de l'énoncé ?

[gg0]

"Pour l'affirmation de F_n = F_n-1 + F_n-2 , celle ci est donné dans l'énoncé." Oui, donc elle ne prouve rien.

Revois ce qu'est une preuve par récurrence. Tu as tout ce qu'il te faut pour faire ton travail maintenant.

[brody60]

Ok merci à vous