Angles et trigonométrie

[invite50acb955]

Voici un exo que g du mal a faire
on a abcd carré
abj et cbk triangle équilatéraux

on demande 1 dans les triangles iso abk , ajd, cjb les mesures des angles abk, jad et jbc et en déduire la mesure des angles de ces triangles:

je n'expose pas tout le raisonnement car il est long mais voici mes résultats cbk=pi/3
abk=5pi/6
bak=bka=pi/12
bad=pi/2
jad=pi/6
adj=dja=5pi/12
abc=pi/2
abj=pi/3
jbc=pi/6
bjc=bcj=5pi/12

2°) quel est la mesure principale de l'angle (dc;dj)
je fais (dc;dj)=(dc;da)-(dj;da) et je trouve -pi/12

3°)mesure de l'angle (dc,dk)
je dis que j appartient a dk donc (dc,dk)=(dc,dj)=-pi/12

4°)demontrer que les points d,j,et k sont alignés : alors la je seche je ne vois pas du tout
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

En fait, quand tu réponds à la 3, tu dis que d,j et k sont alignés, et donc que les angles sont égaux. Mais en fait, tu ne sais pas que d, j et k sont alignés, puisque c'est la question suivante !
En gros, il te faut démontrer proprement que (dc,dk) = -pi/12, puis l'utiliser pour justifier que d, j, k sont alignés...

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rvz

[invite50acb955]

ok merci pour l'info mais comment fais ton pour démontrer que (dc;dk)=-pi/12

[invite6b1e2c2e]

Salut !

DCK est un triangle isocèle, et je pense que tu peux calculer l'angle (cd,ck). Ensuite, la somme des angles d'un triangle faisant 180° (ou Pi), tu devrais obtenir ce que tu cherches...

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50acb955]

ok (cd,ck)=150° mais je ne vois pas comment tu fais pour obtenir (dc,dk) a partir de sa

[invite6a212226]

bonjour
Je crois qu'il y a une démonstration très courte et plus élégante qui s'appuie sur le fait qu'une rotation conserve l'alignement. Il reste juste à déterminer quelle rotation (quel centre et quel angle)
A bientot

[invite50acb955]

désolé ce n'est pas que je ne veuille pas de mettre de bonne volonté mais je ne vois vraiment pas !!!

[invite6a212226]

Bonjour
Par la rotation r(B,-pi/3) le point A a pour image J,
le point C a pour image K.
L'image JBKE du carré ABCD par l'isométrie r est un
carré
L'image par r de [BD] est [BE] donc BD=BE et BDE =pi/3,
BDE est donc un triangle équilatéral.
BE est alors égal à DE, le point E est donc sur la médiatrice de [BD], c'est à dire sur la droite (AC). Les points E, A et C sont alignés.
Et donc leurs images réciproques (D,J,K) aussi
A bientot

[invite50acb955]

ok merci bcp pour cette aide mais mon probleme c'est que j'ai admis la réponse a la question 4 avant de faire la question 3 , donc il me faut d'abord trouver sans dire que les points djk sont alignés la mesure principale de (dc;dk) et c'est la que je bloque

[invite6a212226]

bonjour
Si je me donnes un repère orthonormal de centre D et d'axe DC et DP perpendiculaire à DC les coordonnées de K dans ce repère sont: xk=a(1+racine(3)/2) et yk=-a/2
Tout l'angle que tu cherches arctan(yk/xk)
A bientot

[invite50acb955]

ok mais a quoi correspond petit a

[invite6a212226]

bonjour
a est le cote du carre

[invite50acb955]

ok donc l'angle (dc;dk) a pour mesure (yk/xk) ??

[invite6a212226]

bonjour
non pas (yk/xk) mais arctangente(yk/xk)
a bientot

[invite6b1e2c2e]

ok (cd,ck)=150° mais je ne vois pas comment tu fais pour obtenir (dc,dk) a partir de sa

Salut,

Bon, l'autre méthode est plus jolie, mais aussi plus conceptuelle. Là, tu as quand même presque ton résultat. DCK est un triangle isocèle de sommet principal D.
Donc (cd,ck) = (kc,kd) = theta, et la somme des angles d'un triangle valant 180, tu as que 2 theta + (cd,ck) = 180, d'où theta = 15 degrés...

__
rvz

[invite71124d1f]

Bonjour,

Il suffit de calculer l'angle djk par la méthode besogneuse:
djk = dja + ajb + bjk
dja = 5.pi/12
ajb = pi/3

jbk = jbc + cbk = pi/6 + pi/3 = pi/2 ==> bjk = bkj = pi/4

bilan: djk = 5.pi/12 + pi/3 + pi/4 = pi = angle plat ==> d,j,k allignés.
c.q.f.d.

[invite50acb955]

ok merci cela ma bcp aidé mais pour faire cette démonstration il faut faire une égalité entre les cotés du carré et ceux des triangles équilatéraux pour dire que le triangle dck est isocele donc les deux angles de la base sont égaux

[invite50acb955]

dsl c'est encore moi j'ai encore un problème on me dit ensuite: on supose que le carré abcd a pour coté 3 on paelle e et f les projetés orthogonaux sur les droites (ab) et (ad):
calculer les produits scalaires ab.dj et da.dj
bon pour da.dj pas de problème j'utilise le théoréme d'al kashi soit dj=b ad= a et aj=c , ^c = ^adj â= ^dja ^b ^jad on a b²=a²+b²-2ac=cos ^b

au final je trouve que scalaire da.dj= 9rac(2-rac3) * cos 75

mas pour scalaire ab.dj je n'arrive pas a appliquer l formule ab*dj* cos x
car je n'arrive pas a déterminer l'angle x

[invite50acb955]

aidez moi svp

[invite71124d1f]

le triangle adj est isocèle.
ad=aj et adj=ajd, que tu as déja calculé quand tu as posé la question (5.pi/12).
Gros bêta...!!!

[invitefbb1d0aa]

Considérons le milieu l du segment cd, puis la projection m du point k sur la droite cd. Observons les triangles rectangles dlj et dmk. Si on démontre qu'ils sont semblables, cela démontrera l'alignement des points d, j, et k.

Calcul des longueurs des côtés de ces triangles
Prenons pour unité de longueur le demi-côté du carré.
Comme abj est équilatéral, sa hauteur mesure , et on a donc lj = 2-.
De même la hauteur de bck est , et on aura donc dk = 2+ et mk=1.

Vérification que les triangles sont semblables
Pour vérifier que les triangles sont bien semblables, il faut donc vérifier
Or

L’égalité est donc vérifiée, ces triangles sont donc bien semblables et les points d, j, k sont alignés
CQFD

[invite2254a08a]

bonsoir tt le monde
escuse moi ossi j'ai ey le meme exo mais est ce quelqu'un a une autre methode pour demontrer que les points D J K sont aligne merci