Exercice sur les suites en première S

[invite66205e2e]

Bonjour, j'ai un devoir à rendre pour lundi et j 'ai un petit problème à le résoudre , je voulais savoir si vous pouvez m'expliquer comment commencer ou débuter l'exercice.
L'énoncé: Soient (un) et (vn) deux suites définies sur N et (wn) la suite définie sur N par wn=un+vn

1) Démontrez que si (un) et (vn) sont croissantes , alors (wn) est croissante ; je pensais faire des exemples mais je suis pas sur

2)Etudier les variations de(wn) lorsque (un) et (vn) sont décroissantes.

Merci beaucoup pour vos réponses et votre aide
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[PlaneteF]

Bonjour,

; je pensais faire des exemples mais je suis pas sur

Non, des exemples ne constituent pas une démonstration (tu peux toujours en prendre pour "voir" ce qui se passe, mais c'est tout).

Pars de la définition d'une suite croissante. Par hypothèse on a : Pour tout , , ... Et pour tout , .

Maintenant il te faut démontrer que : Pour tout ,


Cordialement

[invite66205e2e]

Donc je dois mettre la définition pour les (un) et (vn) puis après je dois démontrer mais j'ai pas très bien compris avec wn+1≥ wn
parce que en cours on a juste vu Un+1 - un .

[PlaneteF]

parce que en cours on a juste vu Un+1 - un .

Pour une suite croissante tu as dû voir en cours , ce qui est bien équivalent à

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite66205e2e]

Oui j'ai vu ca rapidement mais il faut que j'utilise juste la propriété pour ensuite démontrer que (wn) est croissante
comme cela :
si Un+1≥un
si Vn+1≥vn
alors wn+1≥wn
démonstration pour wn soit croissante
wn+1-wn≥0
soit Un+1 +Vn+1 - Un-Vn = Un+Vn
Wn=Un+vn
donc Wn est apres j'y arrive pas

[PlaneteF]

On va reprendre avec la définition que tu as vu en cours :

Par hypothèse on a : Pour tout , ... Et pour tout ,

Maintenant il te faut démontrer que : Pour tout ,

Par définition on a :

Mais tu peux faire aussi le regroupement suivant :

A partir de là, la conclusion est immédiate en utlisant les 2 hypothèses sur la suite et .


Cdt

[invite66205e2e]

Lorsque j'ai fait cela je peut conclure que wn est croissant donc wn+1-wn≥0 et après c'est finit
Puis le petit 2 je dois faire Un+1-Un≤0 et Vn+1-Vn≤0 et je fais la même chose que le petit 1

[PlaneteF]

Lorsque j'ai fait cela je peut conclure que wn est croissant donc wn+1-wn≥0

Non, attention, c'est l'inverse, ... tu peux en conclure que , et donc que la suite est croissante (ce n'est pas la même chose que ce que tu dis).

On peut conclure cela parce qu'en détaillant on a :



Ce qui est sous les accolades, on l'a par hypothèse, ... Et ensuite l'on sait que la somme de 2 nombres positifs est positive.


Cdt

[invite66205e2e]

Merci beaucoup mais la formule wn= un+vn sert ou pas dans le petit 1?

Et pour le deuxième pour déterminer les variations de (wn) lorsque (un) et (wn) sont décroissantes (est ce qu'on fait un tableau de variation ou pas besoin).

[PlaneteF]

Merci beaucoup mais la formule wn= un+vn sert ou pas dans le petit 1?

Et pour le deuxième pour déterminer les variations de (wn) lorsque (un) et (wn) sont décroissantes (est ce qu'on fait un tableau de variation ou pas besoin).

Je me demande vraiment si tu comprends ce que l'on fait depuis le début ?!

Bien évidemment que dans le 1) on a utilisé la relation , ... et on a même utilisé aussi . Reprend ligne par ligne la démonstration.

Quant à la question 2), pourquoi veux-tu faire un tableau de variation, ce n'est pas de cela qu'il s'agit ... Si tu as compris ce que l'on vient de faire et ben c'est exactement le même type de raisonnement (c'est même un copier-coller à 95%).

Cdt

[invite66205e2e]

Merci beaucoup je pense avoir compris maintenant je me suis égaré avec des exemples de mon cours
Merci pour votre aide

[PlaneteF]

Merci beaucoup je pense avoir compris maintenant je me suis égaré avec des exemples de mon cours

Les exemples c'est très bien pour illustrer le cours mais attention, le plus important et le plus fondamental ce sont les définitions et leur compréhension. Regarde pour cette démonstration, je n'ai rien fait d'autre que d'appliquer à la lettre et méthodiquement la définition de la croissance d'une suite (plus des règles évidentes de calcul), ... c'est tout !

Cdt