DM sur les suites

[GoVegan]

Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire en tant que DM mais je ne parviens pas à le finir, le voici :

Soient (a_n) et (b_n) deux suites vérifiant, pour tout nombre entier n, a₀ > 0 et b₀ > 0,
a_n+1 = (a_n + b_n) / 2
b_n+1 = (a_n * b_n) / (a_n + b_n)

1a Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n,
a_n+1 - b_n+1 = (a_n² + b_n²) / 2(a_n + b_n)
Cette question je l'ai réussi

b Que peut on dire du signe a_n - b_n pour n > 1 ?
celle ci je n'arrive pas a comprendre comment déduire le signe

2 Démontrer que les suites a_n et b_n sont décroissantes à partir du rang 1
Je n'y suis pas parvenue

3 Démontrer que les suites a_n et b_n sont convergentes
Je n'y suis pas arrivé non plus

4 Démontrer que les suites a_n et b_n convergent vers une même limite.
Je n'ai pas su répondre à la question

Je vous remercie d'avoir pris le temps de lire, et j'espère que quelqu'un seras me répondre, merci beaucoup !
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[gg0]

Bonjour.

Le signe de a_n - b_n pour n > 1 est le signe de a_n+1 - b_n+1 pour n>0 (en posant m=n-1, donc n=m+1, on a "Le signe de a_n - b_n pour n > 1 est le signe de a_m+1 - b_m+1 pour m>0", mais qu'on appelle un nombre m ou n n'a pas vraiment d'importance).
Reste à trouver le signe de (a_n² + b_n²) / 2(a_n + b_n) , donc de (a_n + b_n). Il est assez facile de voir que les deux suites sont positives, une récurrence facile le démontre.

Cordialement.

[GoVegan]

Bonjour, merci pour votre réponse,
donc j'en déduis que si a_n+1 - b_n+1 > 0 alors a_n - b_n > 0 est ca ?

[shezone]

Bonjour,

Comme l'a dit gg0 ,
il suffit de faire un changement de variable de n .

Donc trouver le signe de a(n) - b(n) pour n>1 on se ramène au cas de a(n+1) - b(n+1) pour n>0 . (dont on connaît l'expression) .

cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[GoVegan]

D'accord, donc j'étudie le signe de (a_n² + b_n²) / 2(a_n + b_n) ?

[gg0]

Que vaut a_n+1 - b_n+1 pour n=0 ? n=1 ? n=2 ? .. n=999 ?
que vaut a_n - b_n pour n=1 ? n=2 ? n=3 ? ... n=1000 ?

[shezone]

Si tu as lu ce qu'on a écrit , tu dois savoir car tu as répondu toi même à la première question.

cdt

[GoVegan]

Ah d'accord !! Merci beaucoup !

[Kairn]

Pour étudier la (dé)croissance d'une suite, on calcule en général . Essaye donc, et pense à ce que tu as montré juste avant .
Pour établir la convergence, souviens toi que les termes des suites sont positifs.