Suites

[invite4179d421]

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour un exercice. Merci d'avance.

On considère la suite u définie par u0=1 et U(n+1)=2Un-1/4Un²
1) Représenter les fonctions: x -> 2x-1/4x² et x -> x sur [-2;6]
2) Construire sans les calculer U1, U2 et U3
3) Quelles conjectures peut-on émettre sur les variations et la convergence de la suite u?
4) Démontrer que 0 <(ou = ) Un < (ou = ) 4
5) D'après le graphique, quelles sont les propriétés de la suite u: -si U0<0? -si U0>4?

J'ai réussi les 1) et 2), je pense que la suite diverge vers -infini et est croissante puis décroissante à partir de x=3.
Je ne vois pas comment faire la démonstration du 4) et je ne voit pas comment faire la 5).
-----

[gg0]

Bonjour.

J'ai un doute. C'est bien U(n+1)=2Un-1/4Un²=2Un-Un²/4 ?
En tout cas, même avec U(n+1)=2Un-1/(4Un²), je ne trouve pas comme toi.

Qu'as-tu trouvé comme premiers termes ?

Cordialement.

NB / "la suite diverge vers -infini et est croissante puis décroissante à partir de x=3" ne veut rien dire, il n'y a pas de x dans la suite !!!

[invite4179d421]

C'est bien U(n+1)=2Un-1/4Un²=2Un-Un²/4
Pour les premiers termes: U0=1, U1=3/4, U2=87/64 mais on ne me les demande pas.
Oui, c'est vrai qu'on ne peut pas utiliser de x. Pour la divergence j'avais trouvé -infini car je pensais que la courbe représentait la suite mais en fait non, je vois que les Un s'approchent de 0 sur le graphique et je pense que la suite est décroissante.

[gg0]

Non !

Et manifestement, tu n'as pas fait la question 2 (même si tu croyais l'avoir faite).

Essaie de repérer où sont les Un sur ton schéma. Revois le cours ou les exercices du même style pour comprendre pourquoi on t'a fait tracer la droite d'équation y=x (abscisse=ordonnée).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4179d421]

Rectification: j'avais mal fais mon graphique au brouillon (trop approximatif). Je pense que la suite u est croissante et qu'elle converge vers 4.

[gg0]

Ok,

Maintenant attaque la suite. Comment démontrer que pour tout n ?

[invite4179d421]

Je ne vois pas trop comment faire, peut-être un raisonnement par récurrence

[gg0]

Et bien, si tu penses que c'est ce qu'il faut faire, fais-le, tu verras bien si ça marche.
pourquoi attends-tu qu'on te dise "marche" pour marcher, alors que tu sais où tu vas ?

[invite4179d421]

Je l'avais fait en fait mais ça ne fonctionne pas à cause de la forme de Un:
0<Un<4
0<2Un<8
-Un²/4<U(n+1)<8-Un²/4
Il y a peut être une autre méthode en utilisant la fonction x -> 2x-(x²/4)

[gg0]

Et bien, si tu penses que c'est ce qu'il faut faire, fais-le, tu verras bien si ça marche.
pourquoi attends-tu qu'on te dise "marche" pour marcher, alors que tu sais où tu vas ?

Mais tu peux conserver l'idée de la récurrence et te servir de ce que fait la fonction sur [0;4].

Cordialement.

[invite4179d421]

La fonction est croissante sur [0;4] mais je ne vois pas en quoi cela peut aider.

[invite4179d421]

Ah si, on fait:
0<Un<4
donc f(0)<f(Un)<f(4) or f(0)=0 et f(4)=4
donc 0<U(n+1)<4