Isométries et Complexes

[invite9a89ebdc]

est ce que vous pouvez m'aider a resoudre ce devoir libre le plutot possible (avant le vendredi si c possible) ; voila le sujet
On appelle isometrie de C , toute application f de C dans C qui conserve les modules ie :
quelle que soit z,z' appartenant a C : |f(z) − f(z0)| = |z − z0|

I. Soit f une isometrie de C,
On pose
quelle que soit z appartient a C : g(z)=f(z)-f(0)/f(1)-f(0)
I.1. Montrer que f est injective . et que g est une application d´efinie sur C
I.2. Montrer que g est une isom´etrie isom´etrie de C
I.3. Montrer que
8z 2 C : |g(z)| = |z| et |g(z) − 1| = |z − 1|
I.4. Montrer que quelle que x appartient a R : g(x) = x
I.5. Montrer que
quelle que soit z appartient a C : g(z) = z ou g(z) = z barre
I.6. Montrer que :
quelle que soit z appartenant a C : g(z) = z) ou quelle que soit z appar a C : g(z) = z barre
I.7. Montrer qu ’il existe a appartenant a U et b appartenant a C telle que
quelle que soit z appar a C : f(z) = az + b) ou (quelle que soit z appar a C : f(z) = a zbarre + b)
II. Montrer que les isometries de C sont :
(a) z 7! az + b avec a appar a U et b appar a C ( deplacement)
(b) z 7! az + b avec a appar a U et b appar a C (antideplacement)
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[gg0]

Bonsoir.

On peut t'aider, mais à toi de commencer, conformément à http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html que tu devrais lire avec soin.

Cordialement.

[invite9a89ebdc]

biensur j'ai commencé a le faire j'ai meme resolu quelques questions
c juste qu'il faut que je le donne au prof ce vendredi et j'ai plusieurs exercices a faire
merci de votre comprehension

[gg0]

Tout le monde ici sera plus compréhensif si tu nous dis ce que tu as fait et ce qui te bloques. Pour l'instant, ça ressemble trop à "faites-moi mon exercice".
Et d'ici vendredi, tu as le temps de trouver le reste, non ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a89ebdc]

vous avez raison , voici mes réponses :
1-1 f est une isométrie implique |f(z)-f(z')|=|z-z'|, supposons que f(z)=f(z') on aura |f(z)-f(z')|=|z-z'|=|0|
implique z=z' , d'ou f est injective.
1-2 mq g est une isométrie : on suppose que f(0)=0 et f(1)=1 , donc g(z)=f(z) et g(z')=f(z'),
g(z)-g(z')=f(z)-f(z')
|g(z)-g(z')|=|f(z)-f(z')|=|z-z'| d'ou g est une isométrie
1-3 |g(z)|=|f(z)-f(0)/f(1)-f(0)| supposons que f(0)=0 , f(1)=1 , f(z)=z on aura :
|g(z)|=|z|.
2-2 on a a appar à U donc |a|=1 donc z--z+b est la transformation de vecteur u tq affixe u =b d'ou on a une déplacement
voila ce que j'ai pu resoudre

[gg0]

Désolé, je ne comprends pas ton 1-2 : "on suppose que f(0)=0 et f(1)=1"

Si tu as le droit de supposer, suppose que g est une isométrie, c'est encore plus simple.

D'ailleurs je n'ai pas bien compris comment est défini g :
Tu as écrit : g(z)=f(z)-f(0)/f(1)-f(0)
C'est à dire :

Ne serait-ce pas :

qui s'écrit g(z)=(f(z)-f(0))/(f(1)-f(0)) ?

Je ne peux pas non plus lire la question 1-3.

Cordialement.

[invite9a89ebdc]

g(z)=(f(z)-f(0))/(f(1)-f(0)) oui c ça je m'excuse
pour 1-3: montrer que :
quel que soit z appartenant a C : |g(z)|=|z| et |g(z)-1|=|z-1|

[gg0]

Ok !

Tu n'as pas fini la question I1 ni fait la question I2. Mets toi au travail, c'est facile !

[invite9a89ebdc]

au moins pourriez vous me donner quelques indices pour le terminer ?
je vais le resoudre moi meme .

[gg0]

Ben ...
comme je ne vais pas faire le travail à ta place, je veux bien t'aider quand tu bloques ou tu te trompes, mais tu peux quand même faire les questions faciles (I1,I2, I3, ..) et me dire ce que tu as tenté sur les questions où tu bloques. Fais déjà ton travail.

Cordialement.

[invite9a89ebdc]

je me suis bloquée dans les questions 1-5 , 1-6 et 1-7 je veux seulement des indices , personnellement je ne veux pas que vous me donniez la réponse toute entière

[gg0]

Ok.

Pour le 1-5, soit tu fais une interprétation géométrique, soit tu écris z et g(z) sous forme algébrique a+ib et c+id (en utilisant g(a)=a) et tu traduis les conservations de modules |g(z)|=|z| et |g(z)-g(a)|=|z-a|, soit ...
Toute idée qui traduit 2 conservations a des chances d'aboutir.

Bonne réflexion !