Les suites

[invitebe1531d1]

Bonjour à tous. Voilà j'ai un peu de mal à démontrer qu'une suite est géométrique. Voici l'énoncé :
(Un) est la suite définie par
U0=0
U(n+1) = (1/3) Un+ n -1

Soit Xn=Un-(3/2)N+(15/4). Démontrer que Xn est une suite géométrique
IL faut donc chercher à exprimer X(n+1) en fonction de Xn. Voilà le début de mon calcul.
X(n+1)=U(n+1) -(3/2)(n+1) +(15/4)
X(n+1)=[(1/3)Un+ n -1] - (3/2)(n+1)+(15/4)
X(n+1)=(1/3)Un+ n -(3/2)(n+1)+(11/4)

Je suis bloquée ici. Si quelqu'un voulait m'aider ce serait super gentil. Merci d'avance et bonne soirée à tous.
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[kNz]

Bonsoir,

Tu es presque arrivée au bout, développe toute ton expression, regroupe les Un les n et les constantes, et ensuite mets 1/3 en facteur.

[invitebe1531d1]

Mais en fait je ne sais pas comment faire avec les (3/2)(n+1). Je peux les regrouper avec quoi?

[invitebe1531d1]

Mais en fait je ne sais pas comment finir le calcul...C'est le (3/2) (n+1) qui me pose problème, je dois le regrouper avec quoi?

[A voir en vidéo sur Futura]

[nissart7831]

Développe 3/2 (n+1). Ca te fait un terme en fonction de n et un terme numérique. Ainsi tu pourras encore plus réduire ton équation.
Et ainsi tu pourras trouver la relation entre X_n+1 et X_n.

[invitebe1531d1]

Alors j'ai trouver X(n+1)=(1/3)Un - (1/2)n+(5/4)
X(n+1)=(1/3) (Un-(3/2)n+(15/4))
X(n+1)=(1/3)Xn

Après on me demande d'exprimer Xn en fonction de n.
Xn=X0 . (1/3)à la puissance n
Xn=(15/4).(1/3) à la puissance n
Puis Un en fonction de n! C'est là qu'est le problème...
j'ai trouver que Un = (15/4) [(1/3)àla puissance n +(2/5)n-1]
Sauf que je n'arrive pas à plus factoriser et donc je n'arrive pas non plus à calculer la limite de Un quand n tend vers +l'infini!!!
Si quelqu'un pouvait m'aider... Merci

[nissart7831]

Alors j'ai trouver X(n+1)=(1/3)Un - (1/2)n+(5/4)
X(n+1)=(1/3) (Un-(3/2)n+(15/4))
X(n+1)=(1/3)Xn

Après on me demande d'exprimer Xn en fonction de n.
Xn=X0 . (1/3)à la puissance n
Xn=(15/4).(1/3) à la puissance n
Puis Un en fonction de n! C'est là qu'est le problème...
j'ai trouver que Un = (15/4) [(1/3)àla puissance n +(2/5)n-1]
Sauf que je n'arrive pas à plus factoriser et donc je n'arrive pas non plus à calculer la limite de Un quand n tend vers +l'infini!!!
Si quelqu'un pouvait m'aider... Merci

Tu t'es compliqué pour ton expression (j'ai pas vérifié si c'était juste).
Moi j'aurais simplement dit U_n= (15/4)(1/3)ⁿ+(3/2)n-(15/4).
Et cette expression ne présente aucune difficulté pour étudier la limite de la suite.

Vers quoi tend (1/3)ⁿ (tu dois l'avoir vu en cours) en ? Et (3/2)n ? Conclusion ?

[invitebe1531d1]

bin (1/3)àla puissance n tend vers 0 en +l'infini et (3/2)n ten vers +l'infini
Cela voudrait dire que Un tend vers +l'infini lorsque n tend vers +l'infini???

[nissart7831]

bin (1/3)àla puissance n tend vers 0 en +l'infini et (3/2)n ten vers +l'infini
Cela voudrait dire que Un tend vers +l'infini lorsque n tend vers +l'infini???

Ca te trouble ?