tan(x)=phi, valeur exacte de x.

[Nutellax]

Bonsoir, alors que je m'amusais avec le cercle trigonométrique, l'envie m'est venue de dessiner des figures inscrites à ce même cercle. J'ai donc dessiné un rectangle, mais pas n'importe lequel vu que celui-ci est un rectangle d'or, de côté 2sinx et 2cosx, j'ai alors 2sin(x)/2cos(x)=sin(x)/cos(x)=tan(x)=phi. En magouillant un peu, j'me retrouve avec :
cos(x)= 1/sqrt(phi+2)
sin(x)=phi/sqrt(phi+2)
Je cherche x, la valeur exacte de l'angle qui correspond à ces égalités, je me demande si cela est possible, parce que juste faire un arccos ou arcsin, j'trouverais ça un peu moche et un peu dommage.

Merci d'avance.
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[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) j'ai alors 2sin(x)/2cos(x) (...)

Voilà ce que tu viens d'écrire :

Rappel : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_des_op%C3%A9rations


Cordialement

[Nutellax]

Merci pour la rectification monsieur PlaneteF. J'voudrais ajouter qu'en remplaçant par l'expression de phi, on a :
cos x = sqrt(2/(5+sqrt(5)))
sin x = sqrt((3+sqrt(5))/(5+sqrt(5)))

Y'aurait-il un moyen de décomposer ces expressions en valeurs connue ?

[gg0]

Bonjour.

A priori, il n'y a aucune raison pour qu'un nombre dont la tangente est simple, soit lui-même simple. Même des cas plus élémentaires, comme tan(x)=1/2 (avec -pi/2<x<pi/2) n'ont pas d'expression simple de x.

Cordialement.

NB : Une valeur approchée : 1,017221968

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

On peut même montrer que les seules valeurs rationnelles que prend sont et

Par contre ça dépasse "un peu" le niveau collège & lycée.