Terminale S reccurence avec Sommes et factorielle

[inviteb5593971]

Terminale S reccurence avec Somme et factorielle

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Bonjours a tous,
L Enoncé en question est la piece jointe

Je suis eleve de Terminale S.
J ais des exercices de maths a faire pour la rentrée .
Ces exercices visent a nous familiariser avec les factorielle .

Le probleme est donc que j ais bien du mal a m y familiariser ,d autant plus qu il est question de bon nombres de raisonnement par reccurences. Je sais faire des raisonnements de ce type seulement ceux ci sont avec des suites particulieres : sommes de termes et de factorielles.
ET jais du mal a les traduire de maniere literrale.

Comme les 2 exercices sont liés(selon les dires du professeur), je me vois obligé de vous transmettre le travail que jais fait dans le premier exercice avant de vous decrires ls problemes que j ais avec lerxercice 2


Ex 1)

a) 4! = 1x2x2x4

5!=1x2x2x4x5
6!=1x2x2x4x5x6

b)(n+1)!/ n! = (n+1)

c)info: ">=" signifi superieur ou egal
W signifi somme
e signifit exposant : 3e(n) signifi donc 3 exposant n
3 i(n) signifira dc que le n est en indice
dc jais effectuer le raisonnement suivant

(Pn): k!>= 2 exposant(k-1)

* Initialisation
Pour k=2 2! =2
2 exposant(2-1) = 2 exposant 1 =2

Donc pour k=2 (Pn) est vrai

*Heridité:

Supposons que Pn est vrai, c est a dire que k!>= 2 e(k-1)
Demontrons que cette propriété est vrai pour un n quelconque, c est a dire que (k+1)!>= 2 e(k)

D apres question precedentes on peut dire que

(k+1)x k! = (k+1)!


Donc On a

<=> k!>= 2 e(k-1)

<=> k! x (k+1) >= 2e(k-1) x (k+1)

<=> (k+1)!>= 2e(k-1) x (k+1)

<=> (k+1)!>= k x2e(k-1) + 2e(k-1)

<=> (k+1)!>= k x( 1/2) x 2e(k) + 2e(k)x( 1/2)

<=> (k+1)!>= 2e(k)x( 1/2) x ( k + 1 )

<=> (k+1)!>= 2e(k)x (k+1) /2

jais conclue ici en disant que si
(k+1)!>= 2e(k)x (k+1) /2
alors (k+1)!>= 2e(k)

Dc P i(n+1) est vai et Pn est vrai donc pour tout k apartenant a N*
k!>= 2 e(k-1)


Exercice 2 :[size="1"]

Donc Comme vous pouvez le lire sur lenoncer il y a des W (somme ) partout. ET je n arrive pas a men servir dans les reccurence.

Mon premier probleme a été de "traduire" Un

D apres ce que je pense avoir compris Un = 1/(n-0)! + 1/(n-1)! + 1/(n-2)! + 1/(n-3)! +...+ 1/ n!

a) a partir de cette formule je trouve Uo =1 U1= 1 U2= 5/2 et U3= 8/3

b) en suite j arrive a demontrer que Un+1 - Un <0 et donc que la suite est stictement croissante:

---------Là est le probleme------------




c) mais a partir de cette question je ne parvin pas a traduire l enoncer, le "W" qui signifie "somme " me perturbe et je ne sais comment faire une demonstration ar rec ac une somme comme celle ci.

Comment traduire Un <= (inferieur ou egal à) 1 + W(somme de) 1/ 2 exposant (k-1) =2

et les autres enoncé de ce type dans la suite de la question c) (voir enoncé join) ?
Comment faire une demonstration par eccurence avec cela? Comment commencer?[/i]Donc j essaye de faire la reccurence mais j ais fait des brouillons et des brouillons en vain! Je ne sais comment m y prendre!


Cela me desespere d autant plus que cela mempeche de faire la suite de lexexrcice dans la mesure ou je ne sais pas plus comment m prendre.
La reccurence je sais faire mais avec les sommes je ny arrive pas.

Voila je ne demande pas que lon face cet exercice a ma place mais si quelqun est susceptible de m expliquer comment m y prendre , de me debloquer , me mettre sur la onne voix pour que je puis faire cet exercice cela m aiderais beaucoup.
Jespere avoir une reponse rapidement car c est vraiment important , je ne my suis pas pris au dernier moment, seulement ces derniers jours je n avais aucun moyens de communiquer pour demander une quelconque aide.
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[invitedb5bdc8a]

là le problème est que ta pièce jonte n'est pas validée et qu'on comprend mal ton problème. Tu peux essayer d'écrire en Latex la formule qui te pose problème ?

[inviteb5593971]

oui j essaye a linstant , juste le temps que je comprenne ce qu est le mode latex

[inviteb5593971]

Voici l ENONCé en question


Soit n∈Ν. On appelle factorielle de n l'entier noté n! défini par :

n! = 1x2x3x4x...xn si n≥ 1 et 0! = 1

Le but de cette première partie est de familiariser avec les factorielles.

(a) Calculer 4!, 5! et 6!. Démontrer que 6! x 7! = 10!(sans calculatrice)

(b) Simplifier (n + 1)! / n!

(c) Démontere par récurrence que, pour tout κ ∈ N*, on a : k!≥2^k-1

(d) Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le plus petit entier n tel que : n!≥10⁷

Ex 2: Etude d une suite
n
On considère la (Un) définie par : U_n= ∑ 1/k!
k=0
(a) Calculer U₀, U₁, U₂et U₃.

(b) Démontrer que la suit (U_n est strictement croissante.

(c) Le but de cette question est de prouver qu (U_n) est majorée.
n
i.Démontrer que : U_n≤ 1+∑ 1/2^k-1 pour
k=1
tout n∈N
n
ii. Démontrer que : ∑ 1/2^k-1 = 2 (1-(1/2)ⁿ)
k=1
pour tout n∈N

iii.En déduire que (U_n) est majorée par 3.

(d) En déduire que la suite (U_n) converge. (On ne demande pas de calculer sa limite)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb5593971]

je precise que j' ai fait ue erreur ci dessus, bien entendu dans lex 1 :

4! = 1x2x3x4

5!=1x2x3x4x5
6!=1x2x3x4x5x6

[invitedb5bdc8a]

n
On considère la (Un) définie par : U_n= ∑ 1/k!
k=0

ça signifie U_n=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!

[inviteb5593971]

oui excusez moi ca j avais trouver apres mais je ne l ais pas preciser.

Ainsi je fait Un+1 - Un pour prouver que Un est croissante mais le probleme c est que je trouve Un+1 - Un = Un=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...1/(n-3)! + 1/(n-2)! + (n -1)! +1/n!
= 1/(n+1)! - 1/ (n-3)!
et la je ne sais pas comment prouver que 1/ (n-3)! est superieur a 0. Donc cela me bloque pr prouver que (Un) est croissante.

Ou bien si jutilise tout simplement Un=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!
, j obtient Un+1 = 1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/(n+1)!

Ainsi Un+1 / Un =

[ 1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/(n+1)!] / [1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n! ] = [1/(n+1)!] / [ 1/n!]

= n! / (n+1)!

Ici suffirait t il de dire que n+1 >0 (ou meme superieur ou egal a 1) et que n>0 car n est un entier naturel. Ainsi Un+1 / Un >0 donc ( Un) est croissante ?

[invitedb5bdc8a]

Un+1 c'est la somme jusqu' à k=n+1
Un c'est la somme jusqu'à k=n.
Donc Un+1-Un= 1/(n+1)! tout simplement...
et c'est positif...

[inviteb5593971]

je comprend que Un+1-Un= 1/(n+1)! c'est positif.
Mais je comprend pas comment Un+1-Un= 1/(n+1)!
car la somme jusqu' à k=n+1 pur moi c est 1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/(n+1)!

et la somme jusqu'à k=n. pour moi c est [1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n! ]

et quand je fais Un+1 - Un je trouve n! / (n+1)!
alors je ne comprend pas ni logiquement ni mathematiquement comment vous pouvez trouver que Un+1-Un= 1/(n+1)!

Pourriez m expliquer svp?

[invitedb5bdc8a]

car la somme jusqu' à k=n+1 pur moi c est 1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/(n+1)!

exact

et la somme jusqu'à k=n. pour moi c est [1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n! ]

exact.

et quand je fais Un+1 - Un je trouve n! / (n+1)!

Faux. Détail du calcul ???

tu as écris ci dessus que la somme jusqu'à n comportait n terme. La somme jusqu'à n+1 comporte n+1 termes, tous ceux de la somme jusqu'à n plus 1 qui est 1/(n+1)!
C'est donc bien la différence des deux sommes.

Autre illustration:
U_n+1=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/(n-2)!+1/(n-1)!+1/(n)!+1/(n+1)!
U_n=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/(n-2)!+1/(n-1)!+1/(n)!

[inviteb5593971]

Bonjours
[I] Je vien de comprendre en relisant votre message. Oui c'est plus simple vu de cette maniere, mais j ais pas l habitude de raisonner si simplement, je me complique toujours la vie. Bah pour ca c bon alors. Merci

Pour la question c ) (si vous voulez bien m aider), je fais pour le i) mon initialisation et je trouve pour n= 2 que l inegalité fonctionne car j obtient 5/2 ,valeur que j avais trouver a U2, donc ici

Un 1 + 1 /2 ^k-1

Ensuit pr l hérédité , je rassemble mes données:

j ais Un= 1/0! + 1/1! +...+1/n!

Un+1 = 1/0! + 1/1! +...+1/n!+1/ (n+1)!
n
1 /2 ^k-1 = 1/ 2^(1)- k=1

+1 / 2^(2)-1+
1/2^(3)-1+...+1/2^(n)-1
et

n+1
1 /2 ^k-1 = 1/ 2^(1)-1 + 1 / 2^(2)-1+
k=1

1/2^(3)-1+...+1/2^(n)-1
+1/2^(n+1)-1

et le professeur nous a dit ici d utiliser la question c) de lex 1
donc j ajoute a mes données

k! 2 ^k-1
<=>1 / k! 1 / 2 ^k-1

et je ne sais pas a faire lheridité , je ne sais comment m y prendre (car c est une inegalité avec 2 sommes)
donc j utilise la formule ci dessus tout simplement pour dire que


1 / k! 1 / 2 ^k-1

dc
n n
1 / k! 1 / 2 ^k-1

k=0 k=0






et comme 1/0! =1 eh bien

n n
1 / k! 1+ 1 / 2 ^k-1

k=0 k=1


ce raisonnement est il bon et valable pour tt n apartenant a N ?

Et de meme pour la ii) un raisonnement par reccurence est il vraiment indispensable?

Si ce type de raisonnement est indispensable pour ces deux questions , pourriez vous maider a voir par ou commencer l hridité svp?

[invitedb5bdc8a]

Les maths sont simples en fait. Et la meilleure solution est toujours la pus simple. Il faut avancer pas à pas et chercher à en faire le moins possible !
pour ta question c l'énoncé ne précise pas qu'il y a besoin d'une récurrence, donc on y aura recours que si on ne trouve pas de méthode plus simple.
Ta manière de faire en utilisant le résultat de la partie 1 et en sommant membres à membres est tout à fait correcte.
Pour la ii, tu devrais reconnaître une suite particulière et connaître l'expression de sa somme (c'est du cours)

[inviteb5593971]

merci. Cela me rassure de penser que les maths sont simple car moi jais en ce debut de terminale une vision tout autre des maths .

Et bien a vrai dire je n y avas pas penser mais quand je lis

2(1-(1/2)ⁿ)

eh bien etant donné que 1ⁿ =1 pour tout n apartenant a N,

je lis aussi : 2( 1-(1/2) )ⁿ
et ainsi je vois 2 x qⁿ
q=1/2 la raison d une suite geomtrique de premier terme U0= 2

ainsi j obtiendrais la formule Uo(1-qⁿ) / 1-q
soit 2x (1 - (1/2)ⁿ / (1/2)

d accord mais je ne vois pas cette formule m amene a 1/2 ^k-1 ..

[inviteb5593971]

enfet c est S =Uo(1-q^n-1) / 1-q
je vais essayer avec ca.

[invitedb5bdc8a]

bon tu as corrigé tout seul.

[inviteb5593971]

je trouve que S =Uo(1-^qn-1) / 1-q
= 2( 1-(1/2) )ⁿ= 2 ^n-1

J aurais tendance a utiliser l inegalité demontrée dans le 1)c) mais je suis pas sur que cela serve a grand chose . Mais ici ce qui me pose pb pour demontrer l egalité c est que a gauche j ais une somme et a droite non
______________________________ _________________
jessaye de transformer la partie gauche
1/2^k-1 = 1/ (2 ^k/2^-1)


or 2^-1 = 1/2¹

Ainsi 2 ^k-1 = 2^k / 2^-1= 2^k / (1/2) = 2 x2^k= 4 ^k



ainsi 1/ 2 ^k-1 = 1 / 4^k

mais la encore je ne vois pas le lien avec 2 ^n-1 ...

[invitedb5bdc8a]

Ainsi 2 ^k-1 = 2^k / 2⁺¹= 2^k / (1/2) = 2 x2^k= 4 ^k

Quelle horreur. L'ordre des priorités !!!
2 x2^k= 4 ^k[/QUOTE]
est faux
et tu viens de démontrer par ton erreur que:
2 ^k-1=2 ^k+1
tu te compliques la vie, c'est quoi une suite géométrique, c'est quoi sa somme. Le k-1 ne devrait pas du tout te gêner.

[inviteb5593971]

oui la faute avec 2 ^k-1 pour le coup est moche mais erreur d inattention.

la somme est S = Uo( 1- qⁿ ) / 1-q




Peut etre ais-je trouver si je ne suis allr trop vite:

1/ 2 ^k-1 = 1/ (2^k / 2) = 2/2^k=2 x (1/ 2^k ) = 2 x (1/2)^k

donc 1/ 2 ^k-1 = donc 2 x (1/2)^k


dautre part 2 (1-(1/2)ⁿ ) = 2 x q ⁿ tel que q = 1/2
donc 2 (1-(1/2)ⁿ ) = 2 x (1/2)ⁿ

[invitedb5bdc8a]

dautre part 2 (1-(1/2)ⁿ ) = 2 x q ⁿ tel que q = 1/2
donc 2 (1-(1/2)ⁿ ) = 2 x (1/2)ⁿ

non c'est faux également.

[inviteb5593971]

d accord merci...mais là je cale je connais bien la formule de la somme et de Un pour une suite geometrique, je sais qu une suite geometrique est la somme somme de termes n auquels on multiplie une raison q ..etc mais là je vois pas ou les caser, ou les trouver dans ls formules...

[invitedb5bdc8a]

2 x (1/2)^k
tu ne vois pas la raison, pas le premier terme ???
Il faut absolument reprendre cette partie de ton cours, ça devrait te sauter aux yeux.

[inviteb5593971]

oui la faute avec 2 ^k-1 pour le coup est moche mais erreur d inattention.

la somme est S = Uo( 1- qⁿ ) / 1-q




Peut etre ais-je trouver si je ne suis allr trop vite:

1/ 2 ^k-1 = 1/ (2^k / 2) = 2/2^k=2 x (1/ 2^k ) = 2 x (1/2)^k

donc 1/ 2 ^k-1 = donc 2 x (1/2)^k

c est bien ce que j avais trouver precedement et si

biensur que je les :voit la raison est 1/2 = q et le premier terme est U1= 2.
Mais comme il sagit de 2 x (1/2)^k


et comme il sagit d une suite geometrique c est = à [U1(1-q ^k)] / (1-q)
ainsi
S= [2 x (1 - (1/2)^k ) ] / (1 - (1/2) )

= [2 x (1 - (1/2)^k ) ] / (1/2)

je retrouve bien l egalité voulu au denominateur mais reste le denominateur

[inviteb5593971]

je retrouve bien l egalité voulu au denominateur mais reste le denominateur

rectification je retrouve bien l egalité voulu au numerateur mais reste le denominateur

[invitebb1709d8]

Bonsoir, j'ai un exercice à faire semblable à celui ci-dessus...
Voici l'énoncé:

1) pour tout entier k >=1, on note k! (se lit "factoriel k") le nombre 1x2x.....xk et par convention: 0!=1

On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par Un= (Signe Somme) 1/k!

Le but de ce problème est de prouver que la suite (Un) est convergente et d'approcher sa limite à l'aide d'un algorithme.

1) Vérifier que u0=1, u1=2, u2=5/2, u3=8/3

2) Justifier que la suite (Un) est croissante.

3)a) Montrer par récurrence que pour tout entier k>=1, 1/k! <= 1/2e(k-1)
b) en déduire que pour tout entier n>=1, Un<= 3- 1/2e(n-1) (vérifier ensuite que cette inégalité reste vraie pour n=0)

4) Justifier alors que (Un) est convergente.

5)a) Télécharger algobox et écrire un algorithme qui permet de calculer la valeur de Un (n étant un entier choisi par l"utilisateur)
b) A l'aide de cet algorithme, donner les valeurs approchées (laisser toutes les décimales) de u10, u20, u30

6) Vers quel nombre remarquable semble converger cette suite?

[Médiat]

Bonjour,

Et qu'avez-vous fait, où butez-vous ?

[invitebb1709d8]

J'ai déjà effectuer la question 1) et 2)

Cependant, en ce qui concerne la question 3)a) je suis bloquée à la démonstration...

Voici ce que j'ai déjà fait:

On a la proposition Pn "1/k! <= 1/2e(k-1)" pour tout k>=1

Initialisation: pour k=1, 1/1!=1/1=1
1/2e(1-1)= 1/2e0=1/1=1

donc, 1/1!=1/2e(1-1)
l'égalité 1/k! <= 1/2e(k-1) est vérifiée donc P1 est vraie

Hérédité:
Supposons que Pn est vraie, c'est à dire que "1/k! <= 1/2e(k-1)" soit vraie
Prouvons maintenant que P(n+1) est vraie, c'est à dire que "1/(k+1)! <= 1/2ek" soit vraie

Démonstration:

je ne sais par où débuter...

[Médiat]

En écrivant (k+1)! = (k+1)*k!

[invitebb1709d8]

Merci beaucoup..

Du coup, cela me permet d'obtenir:

1/k!<= 1/2e(k-1)
<=> 1/(k+1)! <= 1/2e (k+1-1)
<=> 1/(k+1)*k! <= 1/2ek

pour 1/(k+1)*k!, est-ce qu'il faut développer? c'est la première fois qu'on manipule les factorielles, je ne connais pas trop les règles de calcul...

[gg0]

Bonjour.

pour 1/(k+1)*k!, est-ce qu'il faut développer?

En mathématiques, on applique des règles, si elles servent. Donc regarde ce que ça donne ....

c'est la première fois qu'on manipule les factorielles, je ne connais pas trop les règles de calcul...

Ben .... tu as la définition, tu t'en sers. j'espère que tu as compris que l'indication de Médiat n'est que l'utilisation de la définition. Sinon, il ne sert à rien de l'utiliser.

S'il y avait eu des règles nouvelles sur la factorielle, ton devoir les aurait données, ou t'aurait fait les démontrer. Comme il n'y a pas ça, c'est que tu n'as besoin que des règles connues jusque là.

Bon travail !