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TErminale S Reccurence factorielle



  1. #1
    parissgeoffroy

    Exclamation TErminale S Reccurence factorielle


    ------

    Bonjours a tous,

    L Enoncé en question est la piece jointe

    Je suis eleve de Terminale S.
    J ais des exercices de maths a faire pour la rentrée .
    Ces exercices visent a nous familiariser avec les factorielle .

    Le probleme est donc que j ais bien du mal a m y familiariser ,d autant plus qu il est question de bon nombres de raisonnement par reccurences. Je sais faire des raisonnements de ce type seulement ceux ci sont avec des suites particulieres : sommes de termes et de factorielles.

    ET jais du mal a les traduire de maniere literrale.

    Comme les 2 exercices sont liés(selon les dires du professeur), je me vois obligé de vous transmettre le travail que jais fait dans le premier exercice avant de vous decrires ls problemes que j ais avec lerxercice 2
    Ex 1)

    a) 4! = 1x2x2x4

    5!=1x2x2x4x5
    6!=1x2x2x4x5x6

    b)(n+1)!/ n! = (n+1)

    c)info: ">=" signifi superieur ou egal
    W signifi somme
    e signifit exposant : 3e(n) signifi donc 3 exposant n
    3 i(n) signifira dc que le n est en indice
    dc jais effectuer le raisonnement suivant

    (Pn): k!>= 2 exposant(k-1)

    * Initialisation
    Pour k=2 2! =2
    2 exposant(2-1) = 2 exposant 1 =2

    Donc pour k=2 (Pn) est vrai

    *Heridité:

    Supposons que Pn est vrai, c est a dire que k!>= 2 e(k-1)
    Demontrons que cette propriété est vrai pour un n quelconque, c est a dire que (k+1)!>= 2 e(k)

    D apres question precedentes on peut dire que

    (k+1)x k! = (k+1)!


    Donc On a

    <=> k!>= 2 e(k-1)

    <=> k! x (k+1) >= 2e(k-1) x (k+1)

    <=> (k+1)!>= 2e(k-1) x (k+1)

    <=> (k+1)!>= k x2e(k-1) + 2e(k-1)

    <=> (k+1)!>= k x( 1/2) x 2e(k) + 2e(k)x( 1/2)

    <=> (k+1)!>= 2e(k)x( 1/2) x ( k + 1 )

    <=> (k+1)!>= 2e(k)x (k+1) /2

    jais conclue ici en disant que si
    (k+1)!>= 2e(k)x (k+1) /2
    alors (k+1)!>= 2e(k)

    Dc P i(n+1) est vai et Pn est vrai donc pour tout k apartenant a N*
    k!>= 2 e(k-1)

    Exercice 2 :---------Là est le probleme------------

    Donc Comme vous pouvez le lire sur lenoncer il y a des W (somme ) partout. ET je n arrive pas a men servir dans les reccurence.

    Mon premier probleme a été de "traduire" Un

    D apres ce que je pense avoir compris Un = 1/(n-0)! + 1/(n-1)! + 1/(n-2)! + 1/(n-3)! +...+ 1/ n!

    a) a partir de cette formule je trouve Uo =1 U1= 1 U2= 5/2 et U3= 16/6

    b) en suite pour demontrer que la suite (Un) est croissante j ais dans l idée qu il faut demontrer par reccurence que U i(n+2) >U(n+1)

    Normalement je ferais Un+1 - Un mais là je ne crois pas que c est possible.

    Donc j essaye de faire la reccurence mais j ais fait des brouillons et des brouillons en vain! Je ne sais comment m y prendre!

    Cela me desespere d autant plus que cela mempeche de faire la suite de lexexrcice dans la mesure ou je ne sais pas plus comment m prendre.
    La reccurence je sais faire mais avec les sommes je ny arrive pas.

    Voila je ne demande pas que lon face cet exercice a ma place mais si quelqun est susceptible de m expliquer comment m y prendre , de me debloquer , me mettre sur la onne voix pour que je puis faire cet exercice cela m aiderais beaucoup.
    Jespere avoir une reponse rapidement car c est vraiment important , je ne my suis pas pris au dernier moment, seulement ces derniers jours je n avais aucun moyens de communiquer pour demander une quelconque aide.

    MErci d avance

    -----
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    Dernière modification par Médiat ; 31/10/2010 à 09h37. Motif: Police de caractères

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  3. #2
    Duke Alchemist

    Re : TErminale S Reccurence factorielle

    Bonsoir.
    ... U3= 16/6
    se simplifie
    b) en suite pour demontrer que la suite (Un) est croissante j ais dans l idée qu il faut demontrer par reccurence que U i(n+2) >U(n+1)

    Normalement je ferais Un+1 - Un mais là je ne crois pas que c est possible.
    Pourquoi donc ?

    Ecris Un+1 de la même façon que Un ci-dessous en colonne et tu verras que cela se simplifie très vite
    Un = 1/(n-0)! + 1/(n-1)! + 1/(n-2)! + 1/(n-3)! +...+ 1/ n!
    Duke.

  4. #3
    parissgeoffroy

    Re : TErminale S Reccurence factorielle

    Merci Duke, ducoup pr Un+1 - Un jtrouve 1/ (n+1)! et comme n est un entier naturel alors 1/ (n+1)! >0 et donc Un+1> Un et ca fonctionne!
    Cela dit n auriez vous pas une idee pr lex 2?

  5. #4
    parissgeoffroy

    Re : TErminale S Reccurence factorielle

    enfin je veus diire pr la 2)c)

  6. #5
    danyvio

    Re : TErminale S Reccurence factorielle

    Citation Envoyé par parissgeoffroy Voir le message
    a) 4! = 1x2x2x4

    5!=1x2x2x4x5
    6!=1x2x2x4x5x6
    C'est nouveau ??????
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    parissgeoffroy

    Re : TErminale S Reccurence factorielle

    non excuser moi il y a erreur dans mon travail, j ais les bonnes reponses mais j ais mal recopier sur l ordinateur( faute de frappe)

    a) 4! = 1x2x3x4

    5!=1x2x3x4x5
    6!=1x2x3x4x5x6

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  10. #7
    Duke Alchemist

    Re : TErminale S Reccurence factorielle

    Bonjour.

    Je n'avais pas vu l'erreur (coquille ?) pour le dernier terme ci-dessous :
    Un = 1/(n-0)! + 1/(n-1)! + 1/(n-2)! + 1/(n-3)! +...+ 1/ n!
    C'est le même que le premier... bizarre, non ?

    Duke.

    EDIt : Il y aurait un "bug" sur le terme générale de ta somme, peut-être ?

  11. #8
    parissgeoffroy

    Re : TErminale S Reccurence factorielle

    Un = 1/(n-0)! + 1/(n-1)! + 1/(n-2)! + 1/(n-3)! +...+ 1/ (n- @)!

    tel que @ serait le premier n

    ou

    Un = 1/(n-1)! + 1/(n-2)! + 1/(n-3)! +...+ 1/ (n)!


    en appliquant cette formule je trouve 3/2 sur U2, ca ne vas pas...
    ET pourtant en en pratiquant l initialisation en 2)c)i) je trouve que l inegalité a demontrer est vrai au rang 2 car U2 = 5/2 = egalité a demontrer(voir enoncer)

    donc ca semblait coller correctement..

  12. #9
    parissgeoffroy

    Re : TErminale S Reccurence factorielle

    ou bien :

    W (n) (k=o) de 1/k! = 1/1! + 1/2! + 1/3! +1/4!+...+1/(n-4)! + 1/ (n-3)! + 1/(n-2)! + 1/(n-1)! + 1/n!

    cela me parait peut etre correct. Qu en pensez vous?

  13. #10
    parissgeoffroy

    Re : TErminale S Reccurence factorielle

    Citation Envoyé par parissgeoffroy Voir le message
    Un = 1/(n-0)! + 1/(n-1)! + 1/(n-2)! + 1/(n-3)! +...+ 1/ (n- @)!

    tel que @ serait le premier n

    ou

    Un = 1/(n-1)! + 1/(n-2)! + 1/(n-3)! +...+ 1/ (n)!


    en appliquant cette formule je trouve 3/2 sur U2, ca ne vas pas...
    ET pourtant en en pratiquant l initialisation en 2)c)i) je trouve que l inegalité a demontrer est vrai au rang 2 car U2 = 5/2 = egalité a demontrer(voir enoncer)

    donc ca semblait coller correctement..
    [B]jE Suis allé un peu vite, j ais ecrit une betise Uo U1 U2 U3 valent toujours la meme chose lorsque j utilise la nouvelle formule don je vous fait part dans la reponse precedente.

    Cependant avec cette formule Un+1 - Un = 1/ (n + 1)! - 1 / (n-3)!

    Là je ne sais comment demontrer que 1 / (n-3)! est superieur a 0...

  14. #11
    Duke Alchemist

    Re : TErminale S Reccurence factorielle

    Bonsoir.

    Je n'ai pas vérifié si la relation que tu proposes pour Un est bonne et les calculs sont trop "lourds" pour moi ce soir

    Par contre, "1/(n-3)!" est nécessairement positif puisque la factorielle est définie comme un produit d'entiers positifs. En l'inversant, cela restera positif
    D'où vient ce "(n-3)!" ?

    Duke.

  15. #12
    parissgeoffroy

    Re : TErminale S Reccurence factorielle

    je fait Un+1 - Un pour prouver que Un est croissante mais le probleme c est que je trouve Un+1 - Un = Un=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...1/(n-3)! + 1/(n-2)! + (n -1)! +1/n!
    = 1/(n+1)! - 1/ (n-3)!

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