Exercice sur les suites

[invite828217ca]

Bonjour à tous, j'ai un deuxième exercice à faire en tant que DM mais je ne parviens pas à le terminer, le voici :

La suite U_n est définie par U₀ et U₁ et par la relation de récurrence 2U_n+2 - 3U_n+1 + U_n = 0 où n est un nombre entier naturel.
On définit :
V_n = U_n+1 - U_n et S_n = V₀ + V₁ + ... + V_n-1
a Déterminer une relation de récurrence entre V_n+1 et V_n et en déduire l'expression de V_n en fonction de n, U₀ et U₁
J'ai pensé ici à faire V_n+1 = V_n+2 ?

b Calculer S_n de deux façons différentes et en déduire l'expression de U_n en fonction de n, U₀ et U₁
Je n'y suis pas arrivé

c Calculer la limite de U_n en fonction de U₀ et U₁
Je n'est pas pue la faire ducoup

Voila je suis vraiment bloqué, si quelqu'un serais m'aidé se serait vraiment gentil, merci beaucoup !
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[invite184b87fd]

Bonjour ,

Pour la première question tu dois utiliser V(n)=U(n+1)-U(n) pour trouver la relation entre V(n+1) et V(n) , tu trouveras une suite particulière que tu as étudié.
Ensuite grâce à cela tu trouveras donc grâce aux formule de ton cours la formule général de V(n).
Essayes déjà de réussir cette question avant de passer aux autres.
Et crois tu réellement que dans un Devoir Maison , les profs vont donner une suite constante à trouver ?

cdt

[invite828217ca]

Bonjour, merci beaucoup pour votre réponse, donc je dois prouver que V_n+1 = Un+2 - U_n+1 ?

[invite184b87fd]

Non pas du tout ,

Tu pars de V(n+1) = U(n+2) - U(n+1) , tu remplace U(n+2) par son expression , et tu trouves une relation entre V(n+1) et V(n)

cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite828217ca]

D'accord donc je fait V_n+1 - V_n et je remplace ?

[invite184b87fd]

Oui tu n'as jamais eu ce genre d'exercice ?

cdt

[invite828217ca]

Si mais là j'ai du mal :/

[invite828217ca]

Quelqu'un pourrais m'aider s'il vous plait ? :/

[gg0]

Bien sûr ... fais les calculs, on t'aidera à continuer.
Pour l'instant, tu n'en as écrit aucun ici !!

[invite828217ca]

Alors j'ai fait pour la question 1 :

V_n+1 - V_n = (U_n+2 - U_n+1) - (U_n+1 - U_n)
V_n+1 - V_n = U_n+2 - U_n+1 - U_n+1 + U_n
V_n+1 - V_n = U_n+2 - 2U_n+1 + U_n

Ensuite je voulais exprimer U_n+2 en fonction de U_n+1 et U_n mais je ne sais comment faire

[invitefa784071]

2Un+2 - 3Un+1 + Un = 0 donc Un+2 = ...

[invite828217ca]

J'ai trouvé que U_n+2 = (3U_n+1 - U_n) / 2 mais je trouve le résultat bizarre

Cela voudrais dire que V_n+1 - V_n = (-U_n+1 - 3U_n) / 2 ?

[invitefa784071]

Refait tes calculs... Il n'y a pas de raison de trouver 3U_n

[invite828217ca]

Ah oui mince ! Donc V_n+1 - V_n = (-U_n+1 + Un) / 2 ! Merci !

[invite828217ca]

Est ce que c'est ça s'il vous plait ?

[invitefa784071]

Oui. Donc si tu factorises par -1, tu retrouves qqchose de connu

[gg0]

Ben, oui et non :

c'est effectivement ce qu'on obtient, mais ça ne répond pas à la question 1, même si c'est presque fini !!!