Exercice sur les suites...

[inviteaf568a2c]

Bonjour à tous! J'ai besoin de votre aide sur cet exercice de suites...


La suite (Un) est définie par U0=1 et pour tout entier naturel n, Un+1= Un/racine de Un²+1

1)Prouvez que pour tout entier naturel n, (Un) > 0
2) prouvez que la suite (Un) est décroissante
3) Justifiez la convergence de la suite (Un)
4) a) Donnez les valeurs exactes des cinq premiers termes de la suite ( celle-ci j'ai réussi et j'ai trouvé
que U1=1/racine de 2 que U2=1/racine de 3 etc..
On doit alors conjecturer l'expression de Un en fonction de n
b) il faut démontrer la conjecture par récurrence
5)Quelle est la limite de la suite (Un) ?


Merci d'avance pour votre aide..
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[jamo]

Bonjour
par coutume , on demande le travail fait avant d'aider . tu bloques où ?

[inviteaf568a2c]

Bonjour!! Je ne sais pas comment faire pour répondre à la 1).. En fait, je ne sais pas si il faut faire une récurrence, ou si il faut simplement dire qu'avec +1 et un ², Un > 0..

[jamo]

oui une récurrence ( ça se voit que Un>0 vu sa définition ), tu as déjà U0=1

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf568a2c]

Je sais comment faire l'initialistion, mais pour l'hérédité c'est assez compliqué.. je dois partie de Un/racine de Un²+1
et je dois arriver à Un > 0 ?

[jamo]

as tu vérifié pour U0 ?
on suppose P(n) et on démontre P(n+1)
donc on suppose Un>0 et on démontre Un+1 >0

[inviteaf568a2c]

Ah d'accord, merci!
Mais je vois vraiment pas comment passer de Un/racine carré de Un²+1, à >0
Je suis censée retomber sur 1? Ainsi on pourrait dire que Un+1 est bien >0 ?

[jamo]

si Un>0 ( hypothèse de récurrence )=> (Un)² >0 ( 3>0 donc 3²>0 ) non ?
as tu vérifié pour U0 ?
je te laisse finir

[gg0]

Au lieu de raconter n'importe quoi, écris correctement ce que tu dois démontrer : Hypothèse de récurrence et conclusion à obtenir et tu verras que c'est évident.

[inviteaf568a2c]

Avec U0=1, on retrouve racine de2/2

[jamo]

la question est :
Prouvez que pour tout entier naturel n, (Un) > 0 ? pourquoi tu me parles de 2/2 ?

[inviteaf568a2c]

J'en ai aucune idée, j'essaye simplement de voir toutes les options possibles, puisque je ne comprend absolument pas comment trouver cette réponse. " As-tu vérifié pour U0 ? " Je pensais qu'il fallait remplacer U0 ( qui est de 1 ) et voir le résultat, qui est racine de 2/2. Apparemment, je fais n'importe quoi

[jamo]

U0=1 et 1>0 donc la propriété est vrai au rang 0.
on suppose Un>0 et on démontre que Un+1>0 , une fois fait , on peut dire que pour tout entier naturel n, (Un) > 0 .

[inviteaf568a2c]

Merci beaucoup pour cette aide "jamo"
Pourrais-tu m'aider également pour la question 2) .. ? :s

[jamo]

avant d'aller en 2 , on finit le 1 . montre ce que tu as fait pour savoir si tu as saisi .

[inviteaf568a2c]

J'ai marqué

Initialisation : U0=1 et 1>0 donc P(0) est vraie au rang 0

Hérédité : Je dois montrer que si P(n) est vraie pour un certain entier n, alors P(n+1) est vraie aussi.
Si P(n) est vrai alors Un>0
Dans ce cas, si Un>0, Un+1>0, et Un/racine de Un²+1 > 0

Pour l'instant je n'ai marqué que ça

[jamo]

un>0( hypothèse de récurrence) alors Un²>0 et Un²+1>0 donc sqrt( Un²+1 )>0 ; sqrt : racine carrée
comme Un>0 le rapport Un/sqrt( Un²+1 ) >0 et comme Un/sqrt( Un²+1 ) = Un+1 , on en déduit que Un+1>0 .
donc quelque soit n , Un>0
maintenant tu peux passer au 2 , c'est quoi la définition de la monotonie ?

[gg0]

Et voilà Jamo,

à force de faire l'âne pour avoir du foin (en marquant n'importe quoi), Ergo2000 a fini par avoir sa question 1 complétement rédigée (par toi !) Et il n'a évidemment rien compris (voir ce qu'il écrit, lui) et sera planté au prochain devoir ("pourtant en DM je savias faire", le baratin habituel des cossards qui l'ont fait faire par autrui).

Essaie un peu de lui demander d'écrire correctement seul, sans rédiger à sa place. Tu n'avanceras plus.

Cordialement.

[jamo]

désolé Gg0 , on verra pour la suite .
Ps : je sais; je ne rends pas service

[inviteaf568a2c]

Si je suis sur ce site, c'est que j'ai besoin d'aide en mathématiques. Par ailleurs, il me semble que c'est le cas d'autres personnes. Je ne suis pas la seule. C'est vrai, je suis pas exceptionnelle dans cette matière, mais je suis assez intelligente pour savoir que ça rapporte rien de marquer quelque chose que l'on ne comprend pas sur sa copie. J'ai été honnête, et je lui ai marqué ce que j'avais réellement marqué. En définitive, il a compris que j'étais bloquée à cet endroit. Jolie comparaison avec l'âne, mais si il y a bien un âne ici, ce n'est certainement pas moi, je ne me permettrais jamais de dire d'un humain que c'est un âne, puisque qu'après tout, si je suis un âne, je peux aussi être un autre animal, tiens pourquoi pas!
Me donner la réponse comme ça, ça ne m'aidera pas, et marquer quelque chose de donner par autrui, non plus. Tu m'as bien dit dans ton premier commentaire que je marquais n'importe quoi. Pour dire ça, justifie toi. Personne sur cette Terre est bête ( les ânes non plus, tu vois! ). Désolée pour toi, on ne peut pas tous atteindre ton intelligence. Soit dit en passant, les erreurs ça fait progresser dans la vie

[jamo]

on va pas monologuer , next cad la monotonie

[inviteaf568a2c]

Pardon.. Oui c'est vrai on va pas s'éterniser là dessus..
La monotonie, et bien.. lorsqu'un fonction est monotone elle est soit str décroissante; soit str croissante, non?

[jamo]

vas y , applique la définition et tu écris ce que tu trouves s

[inviteaf568a2c]

U0=1, et on a prouvé que Un>0, donc Un est " positive " et elle est strictement croissante et donc monotone?

[jamo]

revois la définition de la monotonie que tu as vu en cours et tu reviens avec un raisonnement (n'y vois pas quoi que ce soit )

[inviteaf568a2c]

Pas de soucis je comprend!
Je pense que pour dire qu'elle est décroissante il faut montrer que U(n+1)<(Un) ?

[jamo]

on étudie le signe de Un+1-Un et suivant le résultat on conclut.

[inviteaf568a2c]

C'est ce que je pensais faire, merci dans ce cas !

[jamo]

des fois il vaut mieux étudier le rapport Un+1/Un à condition que Un soit différent de 0 et comparer le rapport à 1 .