Exercice de géométrie, angle à trouver

[invite84e89f3d]

Bonjour à tous,

J'ai actuellement un problème de géométrie, je n'arrive pas à trouver les angles qu'il me faut et même si j'ai l'impression que la solution est toute bête je n'arrive pas à la trouver alors j'espère que vous pourrez m'aider.



Voici la géométrie, les longueurs et angles fixes sont les suivant :
L = P0P1 = P0P2
a = P5P3 = P5P4
b = P0P4 = P0P3
c = P3P6
d = P1P7
l'angle epsilon0 = angle(P5P3P9) qui est défini pour dzeta = 180° , donc pour dzeta < 180° on aura toujours epsilon0(dzeta<180°) = epsilon0(dzeta=180°)
l'angle (P5P3P6) qui est défini pour dzeta = 180°, idem que pour epsilon0, on a angle(P5P3P6)(dzeta<180°) = angle(P5P3P6)(dzeta = 180°)
Et on connait aussi l'angle dzeta

Ce que l'on cherche c'est à déterminer tous les autres angles, alpha, omega, epsilon, gamma et delta en fonction des données si dessus.

On sait que :
[P5P0] est la bissectrice de l'angle 2*alpha
[P5P0] est la bissectrice de l'angle dzeta
[P5P0] est la bissectrice de l'angle 2*omega
angle(P0P8P3) = 90°
lorsque dzeta = 180° on a epsilon = 90° et omega = 45°
[P7P6] est confondu avec [P7P3] et [P3P6] lorsque dzeta = 180° mais ce n'est plus le cas lorsque dzeta < 180°

si vous souhaitez d'autres explications ou d'autres données qui vous manqueraient pour y arriver, n'hésitez pas à me demander.

Merci d'avance de l'aide que vous pourrez m'apporter.

Le but de cet exercice est de pouvoir reconstituer toute la figure pour chaque dzeta donné. Il me faut donc les coordonnées de chaque point en considérant que P0 est le centre du repère et que nous avons un repère orthonormé direct. Cela me permettra au final de programmer le système en Matlab pour qu'en donnant dzeta j'ai directement la géométrie correct.

Fonia
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[invite84e89f3d]

Voici les relations que j'ai déjà trouvé :

sin(omega) = (P4P8)/b ] donc sin(omega) = a*sin(alpha)/b
sin(alpha) = (P4P8)/a ]

sin(epsilon0)=(P3P8)/a = (P4P8)/a = sin(alpha) = b*sin(omega)/a
Comme epsilon0 est fixe, on peut directement le calculer en considérant omega = 45°.
Donc epsilon0 = arcsin(b*sin(45°)/a)

sin(gamma) = (d+(P3P9))/(P7P3) = (d+b*cos(omega))/(P7P3)
En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle P7P3P12 (P12 étant le point à l'intersection des trais en pointillés partant de P7 et P3)
On obtient P7P3² = P1P9² + P12P3²
avec P1P9 = L - b*sin(omega) et P12P3 = d +b*cos(omega)
Donc on obtient :
P7P3 = rac( (L-b*sin(omega))² + (d+ b*cos(omega))²)

d'où gamma = arcsin((d+b*cos(omega))/rac( (L-b*sin(omega))² + (d+ b*cos(omega))²))

Pour delta c'est très simple : car angle(P7P1P9) = 90°
delta = 90° - gamma

Puis angle(P5P3P6) = 180°-delta -epsilon0
On peut faire directement le calcul car nous savons que omega = 45° et que angle(P5P3P6) est un angle fixe


Au final j'arrive à avoir tous mes angles en fonctions de omega ....

Il me manque plus que omega en fonction de dzeta.
Si quelqu'un peut m'aider à trouver omega en fonction de dzeta je lui en serais très reconnaissante.

Fonia