Exercice sur les suites

[invite64e915d8]

Bonjour,

On me demande de démontrer que la suite définie par : et est monotone.

J'ai d'abord cherché à démontrer que la propriété est vraie au rang 2 en démontrant que le problème c'est que je trouve ce qui n'a pas l'air d'être égal à .

Peut-être y a-t-il une méthode plus simple que la récurrence ?

J'espère que quelqu'un aura une idée.

Merci d'avance !
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[invitec317278e]

cette suite n'a aucune raison d'être monotone, pour a différent de 1 et 2

[invite34279f95]

une suite monotone n'est pas une suite constante mais une suite croissante ou décroissante.
Il faut donc que tu cherche Un+1<Un ou si Un+1>Un
initialisation Un+1<Un ou si Un+1>Un -> on suppose (Un) croissante ou décroissante, on le démontre avec U0 et U1

hérédité : récurrence :
On suppose Un>Un+1 ou Un<Un+1
et on montre que c vraie pour
Un+1>Un+2


si Un vraie et Un+1 vraie et que U0 vraie alors monotone



Ai-je été clair ? ça fait un moment que j'ai laché la récurrence donc j'ai peut etre oublié un truc ou mal rédigée.

[ichigo01]

Salut !

C'est une suite récurrente tu peux poser , f qui est continue bien sur et dérivable , tu étudieras le signe , et on a bien et aussi

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Pas d'accord Thorin :
Une suite est monotone si elle est uniformément croissante ou décroissante. Ici on prend Un+1-Un et on regarde à quelle condition c'est du même signe que Un-Un-1;
On voit tout de suite que la condition est Un+Un-1>2, or Un+1=(Un-1)²+1 est plus grand que 1; c'est gagné !

[invite64e915d8]

Ah oui c'est vrai je ne m'étais même pas aperçu qu'elle n'était pas monotone, il doit y avoir une erreur dans l'énoncé... désolé

[ichigo01]

Pour la méthode classique :

,
Maintenant on a qu'à étudier le signe d'une équation de 2ème degré
on a bien donc ou Donc la différence aura un changement de signes sur intervalles différents !

Et c'est bien suffisant pour dire que la suite est monotone ( strictement croissante ou décroissante )

[ichigo01]

Ah oui c'est vrai je ne m'étais même pas aperçu qu'elle n'était pas monotone, il doit y avoir une erreur dans l'énoncé... désolé

Et qu'est ce qui est demandé ? !

[invite64e915d8]

Montrer que la suite est monotone.

A priori, l'énoncé demande que je démontre cela pour tout réel a () donc il doit y avoir une erreur sinon on m'aurait demandé d'étudier le sens de variations de la suite suivant a.

[ichigo01]

Voila d'après le message # 7 on bien Un est monotone ! ( aura un signe négatif ou positif pour )

Cordialement !

[inviteaf1870ed]

Montrer que la suite est monotone.

A priori, l'énoncé demande que je démontre cela pour tout réel a () donc il doit y avoir une erreur sinon on m'aurait demandé d'étudier le sens de variations de la suite suivant a.

La suite est bien monotone pour tout a, voir mon message N°5

[ichigo01]

pour tout réel a () .

Si non , si tu as lu le message #4 , avec on bien toutes les conditions pour utiliser la fonction f .

[invite64e915d8]

Ah oui ! J'ai confondu monotonie est constance... autant pour moi, je suis vraiment distrait ces jours-ci, les exams ça rend pas vifs

[ichigo01]

Ici on prend Un+1-Un et on regarde à quelle condition c'est du même signe que Un-Un-1;
On voit tout de suite que la condition est Un+Un-1>2, or Un+1=(Un-1)²+1 est plus grand que 1; c'est gagné !

J'ai pas tout à fait compris votre raisonnement !!

[inviteaf1870ed]

Un+1-Un=Un²-2Un+2-U²_n-1+2U_n-1-2=(Un-U_n-1)(Un+U_n-1-2)
Or Un=(U_n-1)²+1 est supérieur ou égal à 1
DOnc Un+U_n-1 est supérieur à 2
Donc U_n+1-Un est du même signe que Un-U_n-1, et la suite est monotone.

[ichigo01]

D'accord !

Je me demande une chose , et si Un n'était pas monotone , vous aurez trouvez quoi avec le même raisonnement ? ( juste une question de curiosité )

Cordialement !

[inviteaf1870ed]

Rien ! Si Un+1-Un change de signe à chaque coup, on peut peut etre dire quelque chose, mais sinon on n'aurait pu rien trouver.

Par exemple je pense que si Un=sin(n) on ne peut pas dire grand chose...