Exercice sur les suites

invitee6730404 · 22/05/2009, 16h09

Bonjour. Petit DM de maths niveau 1èreS à resoudre...
Enoncé: "Dans une reserve, on a constaté une diminution annuelle constante de 10% de l'effectif des éléphants. Afin de sauvegarder l'espèce, on décide d'introduire chaque année dans la reserve un nombre fixe N de ces pachydermes.
1.a) Résoudre l'équation 0,9x+N=x d'inconnue x.
b) Choisir N de telle façon que la solution précédente soit égale à 500.
c) Interpréter les résultats obtenus.
2. N a désormais la valeur trouvée en 1.b). On note p(n) le nombre d'éléphants après n années de l'application du plan de sauvegarde.
a) Expliquer pourquoi, pour tout entier n, p(n+1)=0,9p(n)+50.
b) Dans un repère orthonormal dont l'axe des abscisses est gradué de 0 à 1000, construire les droites D et (DELTA) d'équations respectives y=0,9x+50 et y=x. Préciser leur point d'intersection.
c) Construire à l'aide de ce graphique, les premiers termes de la suite p dans le cas où p(0)=1000. Conjecturer le sens de variation et la limite de cette suite.
d) Reprendre la question précedente dans le cas où p(0)=100.
e) L'objectif du plan est-il atteint ?"

Exercice pas vraiment élémentaire vous pouvez le constater. Mais j'ai répondu à quelques questions. Voici mes premières réponses, je suis pratiquement sur que j'ai bon:
"1.a) 0,9x+N=x
0,9x-x=-N
-0,1x=-N
x=N/0,1=10N.
b) choix de N tel que la solution précédente soit égale à 500:
x=N/0,1
Pour x=500
500=N/0,1 d'où N=500X0,1=50.
c) Interprétation:
Soit x le nombre d'éléphants. x diminue de 10% par an. Pour sauvegarder l'éspèce, on introduit un nombre N d'éléphants. Cela se traduit par la relation x(1-10/100)+N=x soit 0,9x+N=x. Si x=500, alors N=50 car 0,9X500+50=500. Ainsi avec ce nombre N, l'éspèce est sauvegardée et x ne change pas au cours du temps (en année) si x=500.
2.a) Soit p(n) le nombre d'éléphants après n années de l'application du plan de sauvegarde. Si le plan de sauvegarde à commencé en 2000 par exemple, alors le nombre d'éléphants en 2009 va être égal au nombre d'éléphants en 2008 diminué de 10%, plus (+) le nombre N d'éléphants introduits, soit p(9)=p(8)X(1-10/100)+N.
p(8+1)=0,9p(8)+N. N a la valeur trouvée en 1.b), donc N=50.
p(8+1)=0,9p(8)+50. Donc pour tout entier n; p(n+1)=0,9p(n)+50.
b) D:y=0,9x+50 et (DELTA):y=x dans un repère orthonormal. y=0,9x+50 est une fonction affine, donc la courbe représentative de cette fonction est une droite, si x=0; f(x)=50 et si x=1000; f(x)=950. Pour (DELTA):y=x; pour x=0 f(x)=0 et pour x=960; f(x)=960 (sa courbe représentative est une droite).
(GRAPHE)
Point d'intersection I des droites (D) et (DELTA):
0,9x+50=x
0,9x-x=-50
-0,1x=-50
x=500
et y=x=0,9X500+50=500. Donc I(500;500) (on retrouve ce point dans le repère)."
c) VOILA C'EST A PARTIR DE LA QUE JE NE COMPREND RIEN ! POURIEZ-VOUS M'AIDEZ SVP ?

. CELUI QUI TROUVE LA REPONSE SERA CONSIDERE PAR MOI COMME LE ROI DES MATHS. MERCI D'AVANCE

invitee6730404 · 22/05/2009, 16h29

Personne pour me répondre ?

**fitzounet** · 22/05/2009, 16h48

salut,

la réponse à la question 2.a serait un peu plus rigoureuse si tu faisait une récurrence, mais c'est un détail..

la construction graphique si tu n'as pas réussi :
tu prends un point d'abscisse x=p(0) ( donc ici x =1000) et qui est située sur la droite affine (0,9 x + 500 ).. tu fais une projection horizontale ( que tu traces ^^ ) en t'arrêtant lorsque tu coupes la droite linéaire ( y=x ) puis tu fais une projection verticale jusqu'à recouper l'autre droite... ainsi de suite autant de fois que tu le veux/peux.
l'idée est que tu as l'abscisse 1000 qui est le nombre de départ, avec l'ordonnée de la droite affine tu trouves la nouvelle population au bout d'une année.. tu reprojettes sur y=x pour que cette population soit ta nouvelle population et en reprojettant encore sur la droite affine tu as la population au bout de deux ans.. et ainsi de suite.. je ne sais pas si je suis très clair..

et comme ça te donne l'allure de la suite ( les différents points obtenus en abscisse seront les termes de la suite ) tu peux voir quel sera le sens de variation de la suite, et faire une hypothèse de la limite qu'elle aura

après tu recommences tout le tralala en commençant non pas avec x=1000 mais avec x = 100..

voilà, si t'as d'autres questions..

**bubulle_01** · 22/05/2009, 18h52

Non, justement, pas besoin de récurrence pour la 2)a) :
Soit p(n+1) le nombre d'éléphant après n+1 années.
Cette valeur représente les 90% de l'année précédente (soit 0.9p(n)) ajoutée au nombre N d'éléphants implantés. Ainsi p(n+1)=0.9p(n)+N=0.9p(n)+50

Pour ma part, je pense que procéder par récurrence ici serait redondant et superflu, et cela peut être mal vu par un quelconque correcteur

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**fitzounet** · 22/05/2009, 19h00

ok pour la récurrence j'avais pas fait attention, elle est en effet inutile..

par contre les correcteurs perso raf.. j'ai jamais pensé que les maths étaient une discipline ou il fallait juste résoudre des exercices pour faire plaisir au correcteur..

et merci pour le calcul de p(n+1), j'avais pas compris

**bubulle_01** · 22/05/2009, 19h48

Ce n'est pas pour faire plaisir au correcteur le problème, simplement il est utile d'optimiser chaque démonstration qu'on peut être amener à faire.
De mon point de vue, dans les concours par exemple, ce genre de "maladresse" peut départager deux candidats.
Après, il y a aussi le gain de temps, et l'appréciation du professeur qui peut rentrer en compte

invitee6730404 · 22/05/2009, 21h36

A ok ! Merci

!
"la réponse à la question 2.a serait un peu plus rigoureuse si tu faisait une récurrence" c'est-à-dire ?
Les premiers termes de la suite p forment un escalier, lool c'est trop FUUN (bon on s'amuse comme on peut et avec ce qu'on a ^^). Alors ça me donne:
"2.c) (voir repère 2.b)) I représente le point d'équilibre, après I, il n'y a plus de représentation graphique. Je constate que la suite est décroissante de p(0)=1000 à 500 et que lim p(n)=500 quand x tend vers 0.
d) (voir repère 2.b)) On applique le même procédé mais avec p(0)=100. La suite est croissante de p(0)=100 à 500 et lim p(n)=500. En effet, après I, il n'y a plus de représentation graphique.
e) L'objectif du plan est-il atteint?
D'après le graphe présenté, on obtient au bout d'un certain nombre d'années et quelque soit le nombre d'éléphants x, le nombre de 500 éléphants. Nous pouvons donc conclure que le plan de sauvegarde de l'espèce fonctionne, car il y aura un nombre d'éléphants sauvés. L'objectif du plan est donc atteint".
Est-ce que mes réponses sont exactes ? En tout cas merci beaucoup

invite7ffe9b6a · 22/05/2009, 22h18

Envoyé par Dydy Clecle et Soso

"la réponse à la question 2.a serait un peu plus rigoureuse si tu faisait une récurrence" c'est-à-dire ?

c'est à dire un raisonnement qu'on apprend en terminal S donc oublie pour l'instant....

invitee6730404 · 22/05/2009, 22h30

A ok. Et sinon mes réponses aux questions 2.c)d)e) sont-elles justes :O ?

**fitzounet** · 22/05/2009, 23h02

oui oui je sais j'ai dit une connerie

mais bon les concours, les concours.. dans la partie maths collège et lycée je pense pas qu'il y ait beaucoup de personnes qui soient en cpge..

et puis voilà bravo les concours.. on forme des personnes au bachotage, calculant de manière parfaite comment gagner les moindres dixièmes de points, faisant des exos par reflexe tellement ils en ont bouffé (je parle pas de toutes les personnes en prépa, mais de l'esprit), et au final, on a des personnes donc on est même pas sûr qu'elles savent réfléchir.

et sur ce point là je sais de quoi je parle..

**fitzounet** · 22/05/2009, 23h04

les résultats semblent correct.

par contre vous êtes sûrs que la récurrence se voit en terminale ? bon si vous le dîtes merci de l'info ça peut être utile

**bubulle_01** · 23/05/2009, 01h07

Envoyé par fitzounet

oui oui je sais j'ai dit une connerie

mais bon les concours, les concours.. dans la partie maths collège et lycée je pense pas qu'il y ait beaucoup de personnes qui soient en cpge..

et puis voilà bravo les concours.. on forme des personnes au bachotage, calculant de manière parfaite comment gagner les moindres dixièmes de points, faisant des exos par reflexe tellement ils en ont bouffé (je parle pas de toutes les personnes en prépa, mais de l'esprit), et au final, on a des personnes donc on est même pas sûr qu'elles savent réfléchir.

et sur ce point là je sais de quoi je parle..

Oui on est d'accord sur ce point là, le taupin moyen apprend par coeur des méthodes pour mieux les recalquer en concours.
Néanmoins ce n'est pas ce genre de personne qui finit par intégrer l'X ou une ENS ...

invitee6730404 · 23/05/2009, 06h58

Mes résultats semblent justes, ok merci. Vous avez l'air de bien vous y connaître en études supérieurs, prépa, tout ça; j'aimerais faire plus tard une prépa BCPST (pour accéder ensuite à une école vétérinaire). A quoi dois-je m'attendre ?

invitee6730404 · 23/05/2009, 07h05

(Un simple détail sur mes réponses à l'exercice: dans le 2.d), lim p(n)=500 QUAND X TEND VERS + L'INFINI (j'avais oublié de le préciser

). C'est bien ça ?)

**fitzounet** · 23/05/2009, 09h36

quand n tend vers l'infini, c'est mieux comme ça..

à quoi tu dois t'attendre en prépa ? à ce qu'on te demande de travailler beaucoup, et à te rendre compte que tout ce que tu as vu jusqu'en terminale dans toutes les mantières ne ressemble en rien à ce qui se fait par la suite..

La prépa a l'avantage de t'aider à travailler étant donné que tu as peu de profs différents, pas de cours en amphi, des colles (heures d'interrogations orales) toutes les semaines en plus des DS etc..

D'un autre côté, c'est un système qui réussit à mettre des élèves peu brillants devant des élèves qui le sont, juste parce que les premiers auront le courage de travailler 5 fois plus et que le bachotage finit par payer..

et bubule peut en dire ce qu'il veut, il existe des lycées où l'on travaille le hors-programme afin de placer ses élèves dans les plus grandes écoles, et des rapports de concours hypocrites qui viennent nous dire que les sujets ont permis de voir qui savait extrapôler ses acquis etc.

Cela dit, ça n'a rien à voir avec la BCPST, et même si le lieu où tu fais ta prépa détermine un peu la suite, c'est pas la seule chose, tu peux tout réussir dans n'importe quelle prépa si tu fais le nécessaire.

et je ne sais pas si il existe d'autres moyens de faire véto..

en tout cas tout ce que tu peux entendre sur les terribles classes préparatoires n'est pas forcément vrai.. on n'en meurt pas, on se fait des bons potes, on ne se fait pas empoisonner à la cantine, il n'y a pas que des boutonneux à lunettes et raie sur le côté..
et quand à la soi-disante charge de travail, c'est un avantage, partout où tu iras il faudra travailler, sauf que là, on te le rappelle plus souvent, et on surveille ce travail, c'est tout.

invitee6730404 · 23/05/2009, 20h05

Oui, quand n tend vers + L'INFINI, en effet.
Pour devenir vétérinaire, je pense qu'il existe surement également des passerelles, genre fac, mais bon c'est un peu plus compliqué tu vois. La prépa BCPST (anciennement "prépa véto") est la plus adaptée je pense.
T'as fait quelle prépa ?
J'aimerais bien faire prépa BCPST mais paraît-il c'est différent des autres prépas, beaucoup de gens me l'on dit (parents, amis, conseillière d'orientation, ...). Les élèves stressent à mort, font vraiment tout pour réussir (cours particuliers pour les étudiants les plus aisés) pour réussir, et peuvent même se marcher un peu sur les pieds. On retrouve ces comportements fort dommages dans des lycées-prépas type "Lycée du Parc à Lyon" ou "lycée Henri IV à Paris". En revanche, on peut trouver de la solidarité dans des lycées moins riches genre "lycée Champolion à Grenoble", "lycée la Martinière Montplaisir à Lyon" ou au lycée de Saint-Etienne (j'ai oublié son nom ^^).
Alors, info ou intox

?

**fitzounet** · 24/05/2009, 09h27

intox..
fin moi j'ai fait une prépa MPSI puis MP*
et l'ambiance était nickelle.. surtout en spé, qui est pourtant l'année des concours.
après les gens qui se tirent dans les pattes il y en a peut-être dans certains lycées plus que dans d'autres.. et puis tu peux toujours tomber sur des cons où que tu ailles..

la fac si tu n'est pas extrêment vigilant c'est piégeux.. faut être super mature pour s'en sortir, car le rythme change radicalement par rapport au lycée, mais à la fac, comme on ne vérifie pas toujours les absences, et qu'il n'y a pas de contrôle continu, tu ne t'en rends pas forcément compte.. donc il faut seulement y aller si tu as une bonne discipline, sachant que tu seras dans un environnement où ce ne sera pas le cas de tout le monde (je connais des gens qiu sont partis à la fac juste pour ne rien foutre, et c'est bien dommage.. mais bon plus tu avances et moins ils sont nombreux puisque eux resteront sur le carreau pendant que les "sérieux" avanceront)

après concernant les cours particuliers, oui ça se fait, en MP aussi ya des mecs (pas dans ma classe mais vu le nombre de brochures qu'on a reçu ça doit se trouver en france) qui se tapent des stages de révision pendant les vacances, à plus de 500 euros la semaine.. c'est l'égalité des chances à la française..

mais ces gens restent minoritaires tout de même..

moi je pense que c'est tout à fait possible, après c'est vrai que véto est le concours star de la BCPST, donc pas évident.

pour le choix du lycée, soit tu prends un grand lycée, et tout ce qui va avec (en général les élèves comme les profs là dedans ne se prennent pas pour de la merde)... ou alors un lycée un peu moins grand, mais avec quand même de bons résultats..

je te déconseille les plus petites prépas.. j'ai rien contre eux

et leurs profs à mon avis ne sont pas moins compétents que les autres.. simplement leur recrutement est moins exigeant ( eh oui, ça c'est le monde de la prépa, tout dans l'apparence.. les "grandes" prépas sont celles qui trient le plus leurs élèves, donc on de meilleurs résultas (forcément quand on ne recrute que les élèves dont on sait qu'ils auront les meilleurs concours) donc une bonne réputation, donc plus de demandes et peuvent encore mieux trier etc.. ).

donc qui dit recrutement moins exigeant dit qu'on ne travaille pas au même niveau.. donc même si tout reste possible bien entendu cela demande plus d'efforts personnels et de travail.

invitee6730404 · 24/05/2009, 10h13

Bah je pense aller dans une prépa un peu moins grande mais où les résultats sont quand même bons, peut-être même meilleurs que dans les grandes prépas car il y aura moins de pression, donc moins de stress. Et puis j'aurais plus de chances d'être pris aussi ! En tout cas merci pour ces informations et pour l'aide en maths.
a +.

Exercice sur les suites