Exercice de TS sur les suites

[invite428e20bb]

Bonjour à tous,

Durant les vacances j'ai décidé de faire quelques exercices type BAC tirés des annales. Hélas, je me trouve bloqué à un exercice sur les suites. C'est un sujet d'après le BAC d'Amérique du Sud de novembre 2000.

Soit la suite Un=racine(3Un+4) avec U0=0

Il y avait trois premières questions que j'ai réussi : montrer que la suite est majorée par 4, quelle est strictement croissante et quelle converge vers 4.

La question qui me bloque est de montrer que pour tout entier naturel n, on a : 4-U(n+1)<(ou égal) (1/2)(4-Un)

A partir de ça, il faut ensuite trouver quelle converge. Puis étudier la convergence de la suite Vn=n²(4-Un)

J'ai essayé d'admettre l'inégalité pour continuer l'exercice, mais je n'y arrive pas.

Si vous pouviez me guider, ce serait super sympa.

Par avance, merci.
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[God's Breath]

Reste à montrer que , c'est-à-dire

[invite428e20bb]

Merci God's Breath.

Je suis d'accord avec toi pour le calcul, mais quand il faut montrer que pour tout entier n U(n+1)>(ou égal) 2 c'est là que je ne comprends pas puisque U(0)=0<2... Si quelqu'un peut m'expliquer. Merci.

[God's Breath]

mais quand il faut montrer que pour tout entier n U(n+1)>(ou égal) 2 c'est là que je ne comprends pas puisque U(0)=0<2...

Ta contradiction n'est qu'apparente : n'est pas de la forme , donc n'a aucune raison d'être supérieur à 2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite428e20bb]

Je dois donc faire un raisonnement par récurrence à partir de U1 ?

[God's Breath]

Bien sûr !
Tu veux prouver par récurrence que : pour tout entier , .
L'initialisation de la récurrence, pour , est bien , ce qu'il est facile de vérifier.

Mais en fait tu n'as pas besoin de récurrence : tu sais que la suite est croissante : on a , donc

[invite428e20bb]

C'est OK, j'ai compris.

À partir de ça, il faut ensuite trouver quelle converge. Puis étudier la convergence de la suite Vn=n²(4-Un)

Par contre je suis encore bloqué pour ces deux questions. Pourrais-tu me guider s'il te plaît ?